Mostre que dado um número qualquer representado na base 10,
(a) se subtrairmos do número a soma dos seus algarismos, o resultado é divisível por 9;
(b) se subtrairmos do número outro qualquer formado por uma permutação dos seus algarismos, o resultado é divisível por 9.

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar duas propriedades de divisibilidade por 9 para um número qualquer na base 10: (a) ao subtrair do número a soma dos seus dígitos; (b) ao subtrair do número outra permutação dos mesmos dígitos. Para isso, vamos usar a representação posicional N=sumi=0^k ai10^i e a congruência 10equiv1pmod9.

Passo 2

Prova de (a): Seja
N = ak10^k + ak-110^k-1 + cdots + a1 10 + a0
e defina a soma dos dígitos
S = ak + ak-1 + cdots + a1 + a0
Então
N - S = sumi=0^k ail(10^i - 1r)
Como 10equiv1pmod9 implica 10^iequiv1pmod9, segue que 10^i-1 é múltiplo de 9 para todo i. Logo cada termo ai(10^i-1) é múltiplo de 9, e portanto N-S é múltiplo de 9, provando (a).

Passo 3

Prova de (b): Seja M outro número obtido por permutação dos dígitos de N. Aplicando o item (a) a M, temos M - S múltiplo de 9. Então
N - M = (N - S) - (M - S)
Como a diferença de dois múltiplos de 9 também é múltiplo de 9, concluímos que N - M é divisível por 9, provando (b).

Resposta

Em ambos os casos, o resultado é divisível por 9.

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