Mostre que dado um número qualquer representado na base 10,
(a) se subtrairmos do número a soma dos seus algarismos, o resultado é divisível por 9;
(b) se subtrairmos do número outro qualquer formado por uma permutação dos seus algarismos, o resultado é divisível por 9.
(a) se subtrairmos do número a soma dos seus algarismos, o resultado é divisível por 9;
(b) se subtrairmos do número outro qualquer formado por uma permutação dos seus algarismos, o resultado é divisível por 9.
Passo 1
Neste exercício vamos mostrar duas propriedades de divisibilidade por 9 para um número qualquer na base 10: (a) ao subtrair do número a soma dos seus dígitos; (b) ao subtrair do número outra permutação dos mesmos dígitos. Para isso, vamos usar a representação posicional
e a congruência
.
Passo 2
Prova de (a): Seja
e defina a soma dos dígitos
Então
Como
implica
, segue que
é múltiplo de 9 para todo
. Logo cada termo
é múltiplo de 9, e portanto
é múltiplo de 9, provando (a).
Passo 3
Prova de (b): Seja
outro número obtido por permutação dos dígitos de
. Aplicando o item (a) a
, temos
múltiplo de 9. Então
Como a diferença de dois múltiplos de 9 também é múltiplo de 9, concluímos que
é divisível por 9, provando (b).
Resposta
Em ambos os casos, o resultado é divisível por 9.