1.1 Mostre que
não é um corpo ordenado.
Sugestão: Num corpo ordenado para todo
, tem-se que
. Mas,
, contradição.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos
não admite uma ordem que o torne um corpo ordenado. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos ordenados sobre quadrados.
Passo 2
Em um corpo ordenado, a ordem
é compatível com a soma e o produto. Em particular, para todo elemento não nulo
vale
. Isso decorre do fato de que:\n1) Se
, multiplicando ambos os lados de
por
obtemos
.\n2) Se
, então
e logo
.
Passo 3
Agora, suponha que
fosse um corpo ordenado. Tome
, que é um elemento não nulo de
. Então deveríamos ter
Mas sabemos que
. Logo
Adicionando
aos dois lados da desigualdade vem
ou seja,
. No entanto,
também é um quadrado (de
mesmo), e em um corpo ordenado deveríamos ter
, ou seja,
. Isso é uma contradição.
Passo 4
Portanto, não existe nenhuma ordem em
que satisfaça os axiomas de corpo ordenado.
Resposta
Não é possível ordenar
de forma a torná-lo um corpo ordenado, pois levaria à contradição de ter simultaneamente
e
.