1.1 Mostre que C não é um corpo ordenado.
Sugestão: Num corpo ordenado para todo a neq 0, tem-se que a^2>0. Mas, 0, contradição.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos C não admite uma ordem que o torne um corpo ordenado. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos ordenados sobre quadrados.

Passo 2

Em um corpo ordenado, a ordem < é compatível com a soma e o produto. Em particular, para todo elemento não nulo a vale a^2>0. Isso decorre do fato de que:\n1) Se a>0, multiplicando ambos os lados de a>0 por a>0 obtemos a^2>0.\n2) Se a<0, então -a>0 e logo (-a)^2=a^2>0.

Passo 3

Agora, suponha que C fosse um corpo ordenado. Tome a=i, que é um elemento não nulo de C. Então deveríamos ter

Mas sabemos que ni^2>0n. Logo
i^2=-1
Adicionando -1>0 aos dois lados da desigualdade vem
+1
-1 + 1 > 0 + 1
ou seja, 0 > 1 . No entanto, 1<0 também é um quadrado (de 1 mesmo), e em um corpo ordenado deveríamos ter 1, ou seja, 1^2>0. Isso é uma contradição.

Passo 4

Portanto, não existe nenhuma ordem em C que satisfaça os axiomas de corpo ordenado.

Resposta

Não é possível ordenar C de forma a torná-lo um corpo ordenado, pois levaria à contradição de ter simultaneamente 1>0 e 1<0.

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