Resolva em C as seguintes equações
(d) z^4=1+i

Passo 1

O enunciado pede para resolver em C a equação z^4 = 1 + i. Isso envolve o conteúdo de números complexos, mais especificamente a extração de raízes de um número complexo usando a forma trigonométrica (ou exponencial) e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, representamos 1 + i em forma polar. O módulo é
R = |1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
O argumento principal theta satisfaz tan(theta) = 1/1, logo theta = pi/4 (no primeiro quadrante). Assim,
1 + i = raiz2,e^ipi/4

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, as soluções de z^4 = R e^itheta são dadas por
zk = R^1/4 e^i(theta + 2pi k)/4, k = 0,1,2,3
Aqui temos R = raiz2 e theta = pi/4, então
R^1/4 = (raiz2)^1/4 = 2^1/8,
e
zk = 2^1/8 e^i(pi/4 + 2pi k)/4 = 2^1/8 e^i(pi/16 + k,pi/2)

Passo 4

Bastam agora listar explicitamente as quatro raízes para k=0,1,2,3:
z0 &= 2^1/8l(cos(pi/16) + isin(pi/16)r), z1 &= 2^1/8l(cos(9pi/16) + isin(9pi/16)r), z2 &= 2^1/8l(cos(17pi/16) + isin(17pi/16)r), z3 &= 2^1/8l(cos(25pi/16) + isin(25pi/16)r)

Passo 5

Pronto! Essas são as quatro raízes de 1 + i elevadas à quarta igual a z^4.

Resposta

As soluções são
zk = 2^1/8l(cosl(tfracpi16 + ktfracpi2r) + isinl(tfracpi16 + ktfracpi2r)r), k=0,1,2,3

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