Mostre que se
para todo
, então
b)
.
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma de termos da forma
(com
) resulta na expressão
. O conteúdo aqui é soma de progressão trigonométrica e vamos usar a representação por números complexos (fórmulas de Euler) para resolver com mais elegância.
Passo 2
Definimos a soma complexa
Pela propriedade de série geométrica, a soma acima vale
Notamos que a parte imaginária de
é exatamente
.
Passo 3
Para simplificar o denominador, escrevemos
Passo 4
Para o numerador temos
Passo 5
Dividindo numerador por denominador, os fatores
se cancelam, e obtemos
Passo 6
Como queríamos a soma de senos, extraímos a parte imaginária de
:
Passo 7
Portanto, chegamos exatamente à fórmula pedida.