Mostre que se theta neq 2 lambda pi para todo lambda in Z, então
b) sen theta+sen 2 theta+cdots+sen n theta=sen n theta2sen theta2 sen (n+1) theta2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma de termos da forma sin ktheta (com k=1,2,dots,n) resulta na expressão dfracsintfracntheta2sintfractheta2,sintfrac(n+1)theta2. O conteúdo aqui é soma de progressão trigonométrica e vamos usar a representação por números complexos (fórmulas de Euler) para resolver com mais elegância.

Passo 2

Definimos a soma complexa
Sc = sumk=1^n e^i k theta
Pela propriedade de série geométrica, a soma acima vale
Sc = e^itheta 1 - e^i n theta1 - e^itheta
Notamos que a parte imaginária de Sc é exatamente sumk=1^n sin ktheta.

Passo 3

Para simplificar o denominador, escrevemos
1 - e^itheta = e^itfractheta2l(e^-itfractheta2 - e^itfractheta2r) = -2i,e^itfractheta2sintfractheta2

Passo 4

Para o numerador temos
e^itheta(1 - e^i ntheta) = e^ithetal(e^itfracntheta2(e^-itfracntheta2 - e^itfracntheta2)r) = -2i,e^i(tfracntheta2+theta)sintfracntheta2

Passo 5

Dividindo numerador por denominador, os fatores -2i) se cancelam, e obtemos
Sc = e^i(tfracntheta2+theta)e^itfractheta2cdotsintfracntheta2sintfractheta2 = e^itfrac(n+1)theta2,sintfracntheta2sintfractheta2

Passo 6

Como queríamos a soma de senos, extraímos a parte imaginária de Sc:
sumk=1^n sin ktheta = Im(Sc) = sintfracntheta2sintfractheta2;sintfrac(n+1)theta2

Passo 7

Portanto, chegamos exatamente à fórmula pedida.

Resposta

sintheta + sin2theta + cdots + sin ntheta = dfracsintfracntheta2sintfractheta2,sintfrac(n+1)theta2

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