Seja n in N. Escreva
a) cos n theta como polinômio de grau n em cos theta;
b) sen n theta como produto de sen theta por um polinômio de grau n-1 em cos theta .

Passo 1

A questão pede expressar cos(ntheta) como polinômio de grau n em costheta e sin(ntheta) como sintheta vezes um polinômio de grau n-1 em costheta. Para isso vamos usar a fórmula de De Moivre, que diz que (costheta+isintheta)^n=cos(ntheta)+isin(ntheta), e expandir pelo binômio de Newton.

Passo 2

Para obter cos(ntheta), tomamos a parte real de (costheta+isintheta)^n. Expandindo pelo binômio de Newton temos
(costheta+isintheta)^n=sumk=0^nbinomnkcos^,n-ktheta,(isintheta)^k
A parte real vem dos termos de k=2j. Logo
cos(ntheta)=sumj=0^lfloor n/2rfloor(-1)^jbinomn2jcos^,n-2jtheta,sin^2jtheta
Substituindo sin^2jtheta=(1-cos^2theta)^j obtém-se um polinômio em costheta de grau n.

Passo 3

Para obter sin(ntheta), pegamos a parte imaginária de (costheta+isintheta)^n. Dos termos do binômio, a parte imaginária vem de k=2j+1. Logo
sin(ntheta)=sumj=0^lfloor(n-1)/2rfloor(-1)^jbinomn2j+1cos^,n-2j-1theta,sin^2j+1theta
Fatorando sintheta e usando sin^2jtheta=(1-cos^2theta)^j chegamos a um produto de sintheta por um polinômio em costheta de grau n-1.

Resposta

As expressões finais são:
cos(ntheta)=sumj=0^lfloor n/2rfloor(-1)^jbinomn2j(1-cos^2theta)^j,cos^,n-2jtheta
sin(ntheta)=sinthetasumj=0^lfloor(n-1)/2rfloor(-1)^jbinomn2j+1(1-cos^2theta)^j,cos^,n-2j-1theta

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