A matriz
tem apenas uma linha e uma coluna nãonulas. Dada
, quais são as dimensões possíveis para a variedade afim formada pelas soluções
do sistema
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
que tem exatamente uma linha não-nula e exatamente uma coluna não-nula, e queremos estudar o sistema
para
e
. Vamos usar conceitos de posto, espaço coluna e núcleo para achar a dimensão da variedade afim das soluções.
Passo 2
Como só há uma linha não-nula e uma coluna não-nula, a matriz
é de posto 1. Em outras palavras,
.
Passo 3
Um sistema
tem solução se e somente se
estiver no espaço coluna de
, que é um subespaço unidimensional (coluna não-nula única). Isso impõe que todas as coordenadas de
sejam zero, exceto a que corresponde à linha não-nula de
. Caso contrário, não há soluções.
Passo 4
Quando o sistema é consistente (isto é,
), o conjunto de soluções é uma variedade afim dada por um deslocamento do núcleo de
. A dimensão dessa variedade vem do teorema da dimensão:
A dimensão do núcleo de é
. Logo, sempre que existir solução, a variedade afim terá dimensão
.
A dimensão do núcleo de
Resposta
Se
, não há soluções. Se
, a variedade afim de soluções tem dimensão n−1.