A matriz a in M(m times n) tem apenas uma linha e uma coluna nãonulas. Dada b in M(m times 1), quais são as dimensões possíveis para a variedade afim formada pelas soluções x in M(n times 1) do sistema a x=b ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz ain M(mtimes n) que tem exatamente uma linha não-nula e exatamente uma coluna não-nula, e queremos estudar o sistema a,x=b para xin M(ntimes1) e bin M(mtimes1). Vamos usar conceitos de posto, espaço coluna e núcleo para achar a dimensão da variedade afim das soluções.

Passo 2

Como só há uma linha não-nula e uma coluna não-nula, a matriz a é de posto 1. Em outras palavras, rank(a)=1.

Passo 3

Um sistema a,x=b tem solução se e somente se b estiver no espaço coluna de a, que é um subespaço unidimensional (coluna não-nula única). Isso impõe que todas as coordenadas de b sejam zero, exceto a que corresponde à linha não-nula de a. Caso contrário, não há soluções.

Passo 4

Quando o sistema é consistente (isto é, binIm(a)), o conjunto de soluções é uma variedade afim dada por um deslocamento do núcleo de a. A dimensão dessa variedade vem do teorema da dimensão:
A dimensão do núcleo de a é dimker(a)=n-rank(a)=n-1. Logo, sempre que existir solução, a variedade afim terá dimensão n-1.

Resposta

Se bnotinIm(a), não há soluções. Se binIm(a), a variedade afim de soluções tem dimensão n−1.

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