Um óleo lubrificante de 28 centavos/quarto será misturado a outro óleo de 33 centavos/quarto para gerar 45 quartos de uma mistura a ser vendida a 30 centavos/quarto. Que volume de cada lubrificante deve ser utilizado?

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos misturar dois óleos para obter 45 quartos de uma mistura vendida a 30 centavos/quarto. Um óleo custa 28 centavos/quarto e o outro 33 centavos/quarto. O conteúdo aqui é montar um sistema linear a partir do balanço de volumes e do balanço de custos.

Passo 2

Vamos chamar de
x o volume (em quartos) do óleo a 28 centavos/quarto
y o volume (em quartos) do óleo a 33 centavos/quarto

Passo 3

O balanço de volumes diz que a soma dos óleos deve dar 45 quartos, ou seja,
x + y = 45

Passo 4

O balanço de custos exige que o custo total seja igual ao preço de venda multiplicado pelo volume total. Como a mistura sai a 30 centavos/quarto e teremos 45 quartos, o custo total em centavos será 30 times 45 = 1350. Assim,
28x + 33y = 1350

Passo 5

Para resolver o sistema
x + y = 45, 28x + 33y = 1350,
isolamos y = 45 - x na primeira equação e substituímos na segunda:
28x + 33(45 - x) = 1350 Longrightarrow 28x + 1485 - 33x = 1350 Longrightarrow -5x = -135 Longrightarrow x = 27

Passo 6

Com x = 27, obtemos
y = 45 - 27 = 18

Resposta

27 quartos do óleo de 28 centavos/quarto.
18 quartos do óleo de 33 centavos/quarto.

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