17 A parte superior de um silo tem a forma de um hemisfério de 1,5 \mathrm{~m} de raio e está revestida uniformemente de uma camada de gelo. Se a espessura da camada de gelo decresce à razão de 0,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{h}, qual a taxa de variação do volume de gelo quando a camada tem 5 cm de espessura?

Passo 1

O enunciado descreve uma camada de gelo uniforme sobre a parte superior de um hemisfério de raio interno R=1{,}5 m. A espessura dessa camada é s(t), que está diminuindo a uma taxa constante de \frac{ds}{dt}=-0,6 cm/h.
Conteúdo: taxas relacionadas (derivadas implícitas). Precisamos expressar o volume do gelo V em função de s e calcular \frac{dV}{dt} quando s=5 cm.

Passo 2

Modelamos o volume do gelo como a diferença entre o volume do hemisfério externo de raio R+s e o volume do hemisfério interno de raio R. Logo,
V(s) =\frac{1}{2}\,\frac{4}{3}\pi\bigl((R+s)^3 - R^3\bigr) =\frac{2}{3}\pi\bigl((R+s)^3 - R^3\bigr).

Passo 3

Derivando em relação ao tempo t, e lembrando que R é constante, temos
\frac{dV}{dt} =\frac{2}{3}\pi\cdot 3\,(R+s)^2\;\frac{ds}{dt} =2\pi\,(R+s)^2\;\frac{ds}{dt}.

Passo 4

Convertendo unidades para metros, quando s=5 cm temos s=0{,}05 m, e \frac{ds}{dt}=-0{,}6 cm/h =-0{,}006 m/h. Então
\frac{dV}{dt} =2\pi\,(1{,}5+0{,}05)^2\;(-0{,}006) =2\pi\,(1{,}55)^2\;(-0{,}006) =-0{,}02883\,\pi\quad\text{m}^3/\text{h}
aproximadamente.

Resposta

\frac{dV}{dt}\approx -0{,}0906\;\text{m}^3/\text{h}.

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