17 A parte superior de um silo tem a forma de um hemisfério de
de raio e está revestida uniformemente de uma camada de gelo. Se a espessura da camada de gelo decresce à razão de
, qual a taxa de variação do volume de gelo quando a camada tem 5 cm de espessura?
Passo 1
O enunciado descreve uma camada de gelo uniforme sobre a parte superior de um hemisfério de raio interno
m. A espessura dessa camada é
, que está diminuindo a uma taxa constante de
cm/h.
Conteúdo: taxas relacionadas (derivadas implícitas). Precisamos expressar o volume do gelo em função de
e calcular
quando
cm.
Conteúdo: taxas relacionadas (derivadas implícitas). Precisamos expressar o volume do gelo
Passo 2
Modelamos o volume do gelo como a diferença entre o volume do hemisfério externo de raio
e o volume do hemisfério interno de raio
. Logo,
Passo 3
Derivando em relação ao tempo
, e lembrando que
é constante, temos
Passo 4
Convertendo unidades para metros, quando
cm temos
m, e
cm/h
m/h. Então
aproximadamente.