Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
4 Se P=3 / w e \frac{d P}{d t}=5 quando P=9,
determine \frac{d w}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá que P e w são funções de t, com a relação
P = \frac{3}{w}
e informa que \frac{dP}{dt}=5 no instante em que P=9. Queremos encontrar \frac{dw}{dt}. Esse é um problema de taxas relacionadas usando derivação implícita.

Passo 2

Escrevemos a relação explicitamente como função de t:
P(t) = 3\,w(t)^{-1}.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a t e usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{dP}{dt} = 3 \cdot \frac{d}{dt}\bigl(w^{-1}\bigr) = 3 \cdot \bigl(-1\,w^{-2}\bigr)\,\frac{dw}{dt} = -\frac{3}{w^2}\,\frac{dw}{dt}.

Passo 4

No instante considerado, \frac{dP}{dt}=5, logo
5 = -\frac{3}{w^2}\,\frac{dw}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dw}{dt} = -5\,\frac{w^2}{3}.

Passo 5

Para achar w nesse instante, usamos P=9 na relação P=3/w:
9 = \frac{3}{w} \quad\Longrightarrow\quad w = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo w=\tfrac{1}{3} na fórmula de \frac{dw}{dt}, temos
\frac{dw}{dt} = -5 \,\frac{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2}{3} = -5\,\frac{\tfrac{1}{9}}{3} = -\frac{5}{27}.

Resposta

\frac{dw}{dt} = -\frac{5}{27}.

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