29 Um pedaço de arame de 36 cm de comprimento deve ser cortado em duas partes. Com uma delas faz-se um triângulo equilátero, e com a outra, um retângulo cujo comprimento é o dobro da largura. Onde se deve cortar o arame de modo que a área total do triângulo e do retângulo seja (a) mínima, (b) máxima?
Passo 1
O enunciado diz que temos um arame de
,cm, que vamos cortar em duas partes: uma de comprimento
para formar um triângulo equilátero, e o restante, de comprimento
, para formar um retângulo cujo comprimento é o dobro da largura. O objetivo é modelar a área total em função de
e então encontrar onde essa área é mínima e máxima.
Passo 2
Para o triângulo equilátero de perímetro
, cada lado mede
A área de um triângulo equilátero de lado
é
Passo 3
Para o retângulo usamos o pedaço de arame de comprimento
. Se a largura for
e o comprimento for
, o perímetro é
Então o comprimento é
e a área do retângulo é
Passo 4
A área total em função de
é
Expandindo para facilitar derivação:
em que
Passo 5
Para encontrar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
Racionalizando,
Como
, esse ponto é mínimo.
Passo 6
Nos extremos do intervalo
e
avaliamos
:
O valor máximo ocorre em
, com
, e o outro extremo dá área menor.
Resposta
(a) A área total é mínima quando
(b) A área total é máxima em
(ou seja, todo o arame vai ao retângulo), com área
,c
.