29 Um pedaço de arame de 36 cm de comprimento deve ser cortado em duas partes. Com uma delas faz-se um triângulo equilátero, e com a outra, um retângulo cujo comprimento é o dobro da largura. Onde se deve cortar o arame de modo que a área total do triângulo e do retângulo seja (a) mínima, (b) máxima?

Passo 1

O enunciado diz que temos um arame de 36,cm, que vamos cortar em duas partes: uma de comprimento x para formar um triângulo equilátero, e o restante, de comprimento 36 - x, para formar um retângulo cujo comprimento é o dobro da largura. O objetivo é modelar a área total em função de x e então encontrar onde essa área é mínima e máxima.

Passo 2

Para o triângulo equilátero de perímetro x, cada lado mede
s = \frac{x}{3}.
A área de um triângulo equilátero de lado s é
A_{\text{tri}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\,\biggl(\frac{x}{3}\biggr)^{2} = \frac{\sqrt{3}}{36}\,x^2.

Passo 3

Para o retângulo usamos o pedaço de arame de comprimento 36 - x. Se a largura for w e o comprimento for 2w, o perímetro é
2\bigl(w + 2w\bigr) = 6w = 36 - x \quad\Longrightarrow\quad w = \frac{36 - x}{6}.
Então o comprimento é \displaystyle 2w = \frac{36 - x}{3} e a área do retângulo é
A_{\text{ret}} = w \cdot (2w) = 2\,w^2 = 2\biggl(\frac{36 - x}{6}\biggr)^{2} = \frac{(36 - x)^{2}}{18}.

Passo 4

A área total em função de x é
A(x) = A_{\text{tri}} + A_{\text{ret}} = \frac{\sqrt{3}}{36}\,x^2 \;+\; \frac{(36 - x)^{2}}{18}.
Expandindo para facilitar derivação:
A(x) = \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{36} + \frac{1}{18}\Bigr)x^2 - \frac{72}{18}\,x + \frac{36^2}{18} = a\,x^2 - 4x + 72,
em que
a = \frac{\sqrt{3}}{36} + \frac{1}{18} = \frac{\sqrt{3} + 2}{36}.

Passo 5

Para encontrar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
A'(x) = 2a\,x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{2a} = \frac{4}{2\bigl(\frac{\sqrt{3}+2}{36}\bigr)} = \frac{4\cdot 36}{2(\sqrt{3}+2)} = \frac{72}{\sqrt{3}+2}.
Racionalizando,
x = \frac{72}{\sqrt{3}+2}\cdot\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2} = 72\,(2 - \sqrt{3}) \approx 19{,}29\text{ cm}.
Como a>0, esse ponto é mínimo.

Passo 6

Nos extremos do intervalo x=0 e x=36 avaliamos A(x):
A(0) = 0 + \frac{36^2}{18} = 72, \qquad A(36) = \frac{\sqrt{3}}{36}\,36^2 + 0 = 36\sqrt{3}\approx 62{,}35.
O valor máximo ocorre em x=0, com A(0)=72, e o outro extremo dá área menor.

Resposta

(a) A área total é mínima quando
x = 72\bigl(2 - \sqrt{3}\bigr)\approx 19{,}29\text{ cm}.
(b) A área total é máxima em x=0 (ou seja, todo o arame vai ao retângulo), com área 72,c m^{2}.

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