Se \pi é um plano que intercepta os eixos cartesianos em x=p, \quad y=q e z=r, e sendo k a distância da origem a \pi, prove que:
\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{r^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num plano \pi que intercepta os eixos x,y,z em (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r), a distância k da origem até \pi satisfaz
\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{r^{2}}.
O conteúdo envolvido é a forma intercepto-eixo de um plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A forma intercepto-eixo do plano é
\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1.
Para usar a fórmula da distância, convertemos para a forma geral ax+by+cz+d=0. Basta escrever
\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}-1=0,
de modo que
a=\frac{1}{p},\quad b=\frac{1}{q},\quad c=\frac{1}{r},\quad d=-1.

Passo 3

A distância de um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) ao plano ax+by+cz+d=0 é
\text{dist}=\frac{\lvert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\rvert} {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
No nosso caso, o ponto é a origem (0,0,0), logo
k = \frac{\lvert a\cdot0 + b\cdot0 + c\cdot0 + d\rvert} {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} = \frac{\lvert -1\rvert} {\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{p}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{1}{q}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{r^{2}}}}.

Passo 4

Elevando ao quadrado e invertendo, obtemos
k^{2} = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{r^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{r^{2}}.

Resposta

\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{r^{2}}.

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