1. Um poliedro (politopo de dimensão 3) é dito regular se todas as suas facetas forem polígonos regulares congruentes e todos os ângulos nos vértices forem iguais. Complete os detalhes na demonstração a seguir de que só existem cinco poliedros regulares.
    a. Suponha que um poliedro regular tenha r facetas, cada uma delas um polígono regular com k lados, e que s arestas se encontram em cada vértice. Denotando por v e a o número de vértices e arestas no poliedro, explique por que k r=2 a e s v=2 a.
    b. Use a fórmula de Euler para mostrar que \frac{1}{s}+\frac{1}{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a}.
    c. Encontre todas as soluções inteiras da equação no item (b) que satisfazem as restrições geométricas do problema. (Quão pequenos k e s podem ser?)

Passo 1

O enunciado define um politopo de dimensão 3 (poliedro) regular com as seguintes notações:
r = número de facetas, cada uma um polígono regular de k lados.
s = número de arestas que se encontram em cada vértice.
v = número de vértices.
a = número de arestas.
Precisamos então (a) justificar as igualdades \,k\,r=2\,a e s\,v=2\,a, (b) usar a fórmula de Euler para obter
\frac{1}{s}+\frac{1}{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a},
e (c) achar todas as soluções inteiras (k,s,a) com k\ge3, s\ge3 e a>0.

Passo 2

Cada face é um polígono regular de k lados, então somando todas as faces contamos k arestas em cada uma, totalizando k\,r. Mas cada aresta pertence a duas faces, logo ela é contada duas vezes; daí
k\,r \;=\; 2\,a.
Analogamente, ao olhar em cada vértice chegam s arestas, totalizando s\,v, mas cada aresta vai a dois vértices, dando
s\,v \;=\; 2\,a.

Passo 3

A fórmula de Euler para poliedros é
v - a + r = 2.
Substituindo v = \tfrac{2a}{s} e r = \tfrac{2a}{k} em Euler:
\frac{2a}{s} \;-\; a \;+\; \frac{2a}{k} \;=\; 2.
Dividindo tudo por a:
\frac{2}{s} \;-\;1\;+\;\frac{2}{k} \;=\;\frac{2}{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{s}+\frac{2}{k}=1+\frac{2}{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s}+\frac{1}{k}=\frac12+\frac{1}{a}.

Passo 4

Agora precisamos de soluções inteiras com k\ge3, s\ge3 e a>0. Note que \frac1s+\frac1k deve ser maior que \tfrac12 para que 1/a>0. Testando pares (k,s): \,k=3:
  • s=3:\;\tfrac13+\tfrac13=\tfrac23> \tfrac12\; \Longrightarrow\;1/a=\tfrac23-\tfrac12=\tfrac16\;\Rightarrow\;a=6.
  • s=4:\;\tfrac13+\tfrac14=\tfrac{7}{12}>\tfrac12\;\Rightarrow\;1/a=\tfrac7{12}-\tfrac12=\tfrac1{12}\;\Rightarrow\;a=12.
  • s=5:\;\tfrac13+\tfrac15=\tfrac{8}{15}>\tfrac12\;\Rightarrow\;1/a=\tfrac8{15}-\tfrac12=\tfrac1{30}\;\Rightarrow\;a=30.
  • s=6:\;\tfrac13+\tfrac16=\tfrac12 1/a=0, caso degenerado (tiling infinito), descartamos.
  • s\ge7 faz \tfrac1s+\tfrac13<\tfrac12, sem solução. \,k=4:
  • s=3:\;\tfrac14+\tfrac13=\tfrac7{12}>\tfrac12\;\Rightarrow\;1/a=\tfrac7{12}-\tfrac12=\tfrac1{12}\;\Rightarrow\;a=12.
  • s=4:\;\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12 degenerado.
  • s\ge5 dá soma <\tfrac12, sem solução. \,k=5:
  • s=3:\;\tfrac15+\tfrac13=\tfrac8{15}>\tfrac12\;\Rightarrow\;1/a=\tfrac8{15}-\tfrac12=\tfrac1{30}\;\Rightarrow\;a=30.
  • s\ge4 já dá soma <\tfrac12. \,k\ge6 com s\ge3 sempre faz \tfrac1k+\tfrac1s\le\tfrac16+\tfrac13=\tfrac12 ou menor, sem solução positiva.
Portanto, apenas os pares (k,s) e valores de a válidos são:
(3,3,6),\quad (3,4,12),\quad (3,5,30),\quad (4,3,12),\quad (5,3,30).

Resposta

Os cinco poliedros regulares correspondem a esses casos:
(3,3,6) tetraedro;
(3,4,12) octaedro;
(4,3,12) cubo;
(3,5,30) icosaedro;
(5,3,30) dodecaedro.

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