- Um poliedro (politopo de dimensão 3) é dito regular se todas as suas facetas forem polígonos regulares congruentes e todos os ângulos nos vértices forem iguais. Complete os detalhes na demonstração a seguir de que só existem cinco poliedros regulares.
a. Suponha que um poliedro regular tenha
facetas, cada uma delas um polígono regular com
lados, e que
arestas se encontram em cada vértice. Denotando por
e
o número de vértices e arestas no poliedro, explique por que
e
.
b. Use a fórmula de Euler para mostrar que
.
c. Encontre todas as soluções inteiras da equação no item (b) que satisfazem as restrições geométricas do problema. (Quão pequenos
e
podem ser?)
a. Suponha que um poliedro regular tenha
b. Use a fórmula de Euler para mostrar que
c. Encontre todas as soluções inteiras da equação no item (b) que satisfazem as restrições geométricas do problema. (Quão pequenos
Passo 1
O enunciado define um politopo de dimensão 3 (poliedro) regular com as seguintes notações:
• = número de facetas, cada uma um polígono regular de
lados.
• = número de arestas que se encontram em cada vértice.
• = número de vértices.
• = número de arestas.
Precisamos então (a) justificar as igualdades e
, (b) usar a fórmula de Euler para obter
•
•
•
•
Precisamos então (a) justificar as igualdades
e (c) achar todas as soluções inteiras
com
,
e
.
Passo 2
Cada face é um polígono regular de
lados, então somando todas as faces contamos
arestas em cada uma, totalizando
. Mas cada aresta pertence a duas faces, logo ela é contada duas vezes; daí
Analogamente, ao olhar em cada vértice chegam
arestas, totalizando
, mas cada aresta vai a dois vértices, dando
Passo 3
A fórmula de Euler para poliedros é
Substituindo
e
em Euler:
Dividindo tudo por
:
Passo 4
Agora precisamos de soluções inteiras com
,
e
. Note que
deve ser maior que
para que
. Testando pares
:
:
-
-
-
-
dá , caso degenerado (tiling infinito), descartamos. -
faz , sem solução. : -
-
degenerado. -
dá soma , sem solução. : -
-
já dá soma . com sempre faz ou menor, sem solução positiva.
Portanto, apenas os pares
e valores de
válidos são:
Resposta
Os cinco poliedros regulares correspondem a esses casos:
(3,3,6) tetraedro;
(3,4,12) octaedro;
(4,3,12) cubo;
(3,5,30) icosaedro;
(5,3,30) dodecaedro.
(3,3,6) tetraedro;
(3,4,12) octaedro;
(4,3,12) cubo;
(3,5,30) icosaedro;
(5,3,30) dodecaedro.