O ponto P da bissetriz dos quadrantes ímpares é equidistante dos pontos A(\sqrt{5}, 2) e B(8, \sqrt{5}). Determine as coordenadas de P, e o ponto P, simétrico de P em relação à Q(1,3).

Passo 1

O enunciado diz que o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (que é a reta y = x) e que ele é equidistante de A(\sqrt{5},2) e de B(8,\sqrt{5}). Depois, pede o reflexo de P em relação a Q(1,3). Para resolver, vamos:
  1. Escrever P=(t,t) pela condição y=x.
  2. Impor \text{PA} = \text{PB} e achar t.
  3. Usar a fórmula do ponto médio para obter o ponto simétrico de P em relação a Q.

Passo 2

Supondo P=(t,t), a condição de equidistância é
\sqrt{(t-\sqrt{5})^2 + (t-2)^2} = \sqrt{(t-8)^2 + (t-\sqrt{5})^2}.
Elevando ao quadrado e cancelando o termo (t-\sqrt{5})^2 de ambos os lados, sobra
(t-2)^2 = (t-8)^2.
Desenvolvendo:
t^2 - 4t + 4 = t^2 - 16t + 64
-4t + 4 = -16t + 64
12t = 60
t = 5.
Logo,
P = (5,5).

Passo 3

Para encontrar o simétrico de P em relação a Q(1,3), note que Q é o ponto médio entre P e seu reflexo P'. Assim, se P'=(x',y'), temos
\frac{5 + x'}{2} = 1, \quad \frac{5 + y'}{2} = 3.
Da primeira, 5 + x' = 2 então x' = -3.
Da segunda, 5 + y' = 6 então y' = 1.
Portanto,
P' = (-3,\,1).

Resposta

P=(5,5)
O simétrico de P em relação a Q(1,3) é (-3,1).

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