4 A população de uma cidade aumenta à taxa de 5 \% ao ano. Se a população atual é de 500.000 e a taxa de aumento é proporcional ao número de pessoas, qual será a população daqui a 10 anos?

Passo 1

O enunciado diz que a população cresce de forma proporcional ao número de pessoas, à taxa de 5\% ao ano. Temos P(0)=500000 e queremos P(10). O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial do tipo crescimento/exponencial.

Passo 2

Modelamos o crescimento por
\frac{dP}{dt}=kP,
onde a taxa k em termos anuais satisfaz k=0,05 (já que 5\%=0,05). A condição inicial é
P(0)=500000.

Passo 3

Usamos separação de variáveis:
\int \frac{dP}{P} = \int k\,dt \Rightarrow \ln P = kt + C. Em t=0, \ln P(0)=\ln(500000) C=\ln(500000). Logo
P(t)=e^{kt+C}=500000\,e^{kt}.
Para t=10:
P(10)=500000\,e^{0,05\cdot10}=500000\,e^{0,5}.

Passo 4

Aproximando numericamente:
e^{0,5}\approx1,6487
logo
P(10)\approx500000\times1,6487\approx824360.

Resposta

A população daqui a 10 anos será
P(10)=500000\,e^{0,5}\approx824360
habitantes.

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