Esse problema foi adaptado de um exercício do excelente texto Notas de Aula de Geometria Analítica, do professor Israel Vainsencher: Os aeroportos de Pongonhas e Fubica, localizados nos pontos P e F, nessa
ordem, distam 18 Km . Do projeto genial resultaram pistas de decolagem cujos prolongamentos se cruzam num ponto O tal que o triângulo POF é equilátero. Os controladores de vôo determinaram que na decolagem de P o avião passe sobre O a 2 Km de altitude e, na de F, a 3 Km . Sabe-se que a margem segura de afastamento entre aeronaves é 992 m . É seguro embarcar num desses vôos? Se necessário, use que \sqrt{2} \approx 1, 4 ; \sqrt{3} \approx 1,7 ; \sqrt{5} \approx 2,2 e \sqrt{10} \approx 3,1.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois trajetos de decolagem em 3D:
– O avião de P parte de P=(0,0,0) e sobe até passar sobre o ponto O (na projeção no solo) com altitude 2 km.
– O avião de F parte de F=(18,0,0) e sobe até passar sobre o mesmo ponto O (na projeção) com altitude 3 km.
No plano horizontal P, F e O formam um triângulo equilátero de lado 18 km.
Queremos saber a mínima distância entre essas duas retas de voo (linhas oblíquas em 3D) e compará-la com a margem segura de 992 m ( 0,992 km). Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre duas retas reversas (skew) em \mathbb{R}^3:
d \;=\;\frac{\bigl\lvert (\mathbf{r}_0^{(2)} - \mathbf{r}_0^{(1)}) \cdot ( \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)\bigr\rvert} {\lVert \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2\rVert}.

Passo 2

Escolhemos coordenadas no plano z=0 de modo que
P=(0,0,0),\quad F=(18,0,0),
e, como POF é equilátero, a projeção de O no solo vale
O_{\text{solo}}=(9,\,9\sqrt{3},\,0).
Os pontos finais dos voos em O são
A_1=(9,\,9\sqrt{3},\,2) \quad\text{e}\quad A_2=(9,\,9\sqrt{3},\,3).
Assim, a reta L_1 passa por P e A_1, e a reta L_2 passa por F e A_2.

Passo 3

Determinamos os vetores direção:
\mathbf{v}_1 = A_1 - P = (9,\;9\sqrt{3},\;2),
\mathbf{v}_2 = A_2 - F = (9-18,\;9\sqrt{3}-0,\;3-0)=(-9,\;9\sqrt{3},\;3).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 9 & 9\sqrt{3} & 2\\\\ -9 & 9\sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} =(9\sqrt{3},\,-45,\,162\sqrt{3}).
O módulo é
\bigl\lVert \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2\bigr\rVert =\sqrt{(9\sqrt{3})^2 + (-45)^2 + (162\sqrt{3})^2} =\sqrt{243 + 2025 + 78732} =\sqrt{81000} =90\sqrt{10}.

Passo 5

O vetor de ligação de P a F é \mathbf{r}_0^{(2)}-\mathbf{r}_0^{(1)}=(18,0,0).
Seu produto escalar com \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 é
(18,0,0)\cdot(9\sqrt{3},-45,162\sqrt{3}) =162\sqrt{3}.
Logo a distância mínima vale
d =\frac{\lvert 162\sqrt{3}\rvert}{90\sqrt{10}} =\frac{162}{90}\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} =\frac{9\sqrt{3}}{5\sqrt{10}} =\frac{9\sqrt{30}}{50}\\ \text{km}.

Passo 6

Usando \sqrt{3}\approx1{,}7 e \sqrt{10}\approx3{,}1 temos \sqrt{30}\approx5{,}27,
d\approx\frac{9\cdot5{,}27}{50}\approx0{,}95\\ \text{km}=950\\ \text{m}.
Como 950 m é menor que a margem segura de 992 m, não é seguro.

Resposta

Não é seguro: a distância mínima entre as trajetórias é
\frac{9\sqrt{30}}{50}\,\text{km}\approx950\text{ m}
e fica abaixo dos 992 m exigidos.

Exercícios de Livros Relacionados