Esse problema foi adaptado de um exercício do excelente texto Notas de Aula de Geometria Analítica, do professor Israel Vainsencher: Os aeroportos de Pongonhas e Fubica, localizados nos pontos P e F, nessa
ordem, distam 18 Km . Do projeto genial resultaram pistas de decolagem cujos prolongamentos se cruzam num ponto O tal que o triângulo POF é equilátero. Os controladores de vôo determinaram que na decolagem de P o avião passe sobre O a 2 Km de altitude e, na de F, a 3 Km . Sabe-se que a margem segura de afastamento entre aeronaves é 992 m . É seguro embarcar num desses vôos? Se necessário, use que \sqrt{2} \approx 1,4 ; \sqrt{3} \approx 1,7 ; \sqrt{5} \approx 2,2 e \sqrt{10} \approx 3,1.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos dois trajetos de decolagem em 3D:
– O avião de P parte de P=(0,0,0) e sobe até passar sobre o ponto O (na projeção no solo) com altitude 2 km.
– O avião de F parte de F=(18,0,0) e sobe até passar sobre o mesmo ponto O (na projeção) com altitude 3 km.
No plano horizontal P, F e O formam um triângulo equilátero de lado 18 km.
Queremos saber a mínima distância entre essas duas retas de voo (linhas oblíquas em 3D) e compará-la com a margem segura de 992 m (0,992 km). Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre duas retas reversas (skew) em \mathbb{R}^3:
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Frederico Brito e Walmisson de Almeida - Geometria Analítica e Álgebra Linear para Engenharias - 2ª Edição - Capítulo Tópico 13.Exercícios - Ex. 7