Encontre a equação da esfera com centro em C(1,1,7) e tangente ao plano de equação -2 x-4 y+8 z=6.
Passo 1
O enunciado pede a equação da esfera cujo centro é C(1,1,7) e que seja tangente ao plano de equação -2x-4y+8z=6. O conteúdo principal aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3 e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano para determinar o raio da esfera.
Passo 2
Para que uma esfera de centro C(x_0,y_0,z_0) seja tangente a um plano Ax+By+Cz+D=0, o raio r da esfera deve ser igual à distância de C ao plano, dada por
r = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Passo 3
Primeiro escrevemos o plano na forma padrão:
-2x - 4y + 8z - 6 = 0,
logo A=-2, B=-4, C=8 e D=-6. Substituindo C(1,1,7) na fórmula da distância:
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Frederico Brito e Walmisson de Almeida - Geometria Analítica e Álgebra Linear para Engenharias - 2ª Edição - Capítulo Tópico 13.Exercícios - Ex. 6