Encontre a equação da esfera com centro em C(1,1,7) e tangente ao plano de equação -2 x-4 y+8 z=6.

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera cujo centro é C(1,1,7) e que seja tangente ao plano de equação -2x-4y+8z=6. O conteúdo principal aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3 e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano para determinar o raio da esfera.

Passo 2

Para que uma esfera de centro C(x_0,y_0,z_0) seja tangente a um plano Ax+By+Cz+D=0, o raio r da esfera deve ser igual à distância de C ao plano, dada por
r = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 3

Primeiro escrevemos o plano na forma padrão:
-2x - 4y + 8z - 6 = 0,
logo A=-2, B=-4, C=8 e D=-6. Substituindo C(1,1,7) na fórmula da distância:
\bigl|-2\cdot1 -4\cdot1 +8\cdot7 -6\bigr| = \bigl|-2 -4 +56 -6\bigr| = |44| = 44,
e
\sqrt{A^2+B^2+C^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.
Portanto,
r = \frac{44}{2\sqrt{21}} = \frac{22}{\sqrt{21}}.

Passo 4

A equação geral de uma esfera de centro (1,1,7) e raio r é
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-7)^2 = r^2.
Substituindo r = \tfrac{22}{\sqrt{21}} obtemos
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-7)^2 = \Bigl(\tfrac{22}{\sqrt{21}}\Bigr)^2 = \frac{484}{21}.

Resposta

(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-7)^2 = \frac{484}{21}.

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