1. Provar que as retas r e s são coplanares. Dadas:
    r: x-12=y-10=z+21 e s: x1=y+12=z+1-1

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r: x-12=y-10=z+21,
s: x1=y+12=z+1-1
Como duas retas são coplanares se, e somente se, o produto misto entre o vetor diferença de um ponto de cada reta e os vetores diretores for zero, vamos usar esse critério.

Passo 2

Escrevemos as retas em forma vetorial para identificar pontos e vetores diretores:
Para r: ponto P=(1,1,-2) e vetor diretor vec u=(2,0,1), pois
(x,y,z) = (1,1,-2) + t,(2,0,1)
Para s: ponto Q=(0,-1,-1) e vetor diretor vec v=(1,2,-1), pois
(x,y,z) = (0,-1,-1) + u,(1,2,-1)

Passo 3

Calculamos o vetor QP = P - Q:
QP = (1,1,-2) - (0,-1,-1) = (1,;2,;-1)

Passo 4

Montamos o produto misto QPcdot(vec utimesvec v). Primeiro o produto vetorial:
vec utimesvec v = i & j & k 2 & 0 & 1 1 & 2 & -1 = (-2,;3,;4)
Em seguida o escalar com QP=(1,2,-1):
QPcdot(vec utimesvec v) = 1cdot(-2) + 2cdot3 + (-1)cdot4 = -2 + 6 - 4 = 0

Passo 5

Como o produto misto é zero, QP, vec u e vec v são coplanares, logo as retas r e s são coplanares.

Resposta

As retas r e s são coplanares.

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