Provar que para todos os valores reais de k e t os pontos A(1,2), B(1+k, 2-k) e C(1-t, 2+t) são colineares. Determinar a equação da reta que os contém.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos
,A(1,2),
,B(1+k,2-k) e
,C(1-t,2+t) para k,tinR,
pede para provar que são colineares e determinar a reta que os contém. Vamos usar coeficiente angular para colinearidade e, depois, achar a equação da reta com esse coeficiente.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular da reta que passa por A e B:
mAB ;=;yB - yAxB - xA =(2-k)-2(1+k)-1 =-kk =-1,
para kneq0. Se k=0, então B=A e qualquer reta que passe por A contém B, o que também é compatível com colinearidade.

Passo 3

Calculamos o coeficiente angular da reta que passa por A e C:
mAC ;=;yC - yAxC - xA =(2+t)-2(1-t)-1 =t-t =-1,
para tneq0. Se t=0, então C=A e também não há contradição.

Passo 4

Como mAB=mAC=-1, concluímos que A, B e C têm o mesmo coeficiente angular e, portanto, são colineares para quaisquer valores reais de k e t.

Passo 5

Para obter a equação da reta, usamos o coeficiente m=-1 e o ponto A(1,2). Em forma ponto-inclinação:
y - 2 = -1,(x - 1)
Expandindo e arrumando, obtemos
y = -x + 3 Long<=ftrightarrow x + y - 3 = 0

Resposta

A reta que contém A, B e C tem equação
boxedx + y - 3 = 0

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