Prove que cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60^circ.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo equilátero (todos os lados iguais), cada ângulo interno mede 60^circ. Vamos usar dois fatos clássicos de geometria plana:
  1. Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais.
  2. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180^circ.

Passo 2

Seja ABC um triângulo com
AB = BC = CA
Como AB = AC, o triângulo ABC é isósceles com base BC, logo
ang<= ABC = ang<= ACB
De modo análogo, como BC = AB, temos
ang<= BCA = ang<= CAB,
e como CA = BC, temos
ang<= CAB = ang<= ABC
Portanto
ang<= CAB = ang<= ABC = ang<= BCA

Passo 3

Chame esse valor comum de x, ou seja,
ang<= CAB = ang<= ABC = ang<= BCA = x
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180^circ, obtemos
x + x + x = 180^circ
Em outras palavras,
3x = 180^circ

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 3, vem
x = 180^circ3 = 60^circ

Resposta

Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60^circ.

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