Prove que a medida do ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medias dos ângulos interno a ele não adjacentes.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem e o que queremos provar. Seja o triângulo ABC. Prolongamos o lado BC até um ponto D, formando o ângulo externo ang<= ACD. O que queremos mostrar é que
m(ang<= ACD)=m(ang<= CAB)+m(ang<= ABC)
Para isso, vamos usar duas coisas básicas de geometria plana:
  1. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ.
  2. Ângulos suplementares (linear pair) somam 180^circ.

Passo 2

Observe primeiro que ang<= ACB e ang<= ACD são um par linear, pois formam uma linha reta em C. Logo,
m(ang<= ACB)+m(ang<= ACD)=180^circ

Passo 3

Agora aplicamos que a soma dos ângulos internos de ABC é 180^circ. Ou seja,
m(ang<= CAB)+m(ang<= ABC)+m(ang<= ACB)=180^circ

Passo 4

Como os dois resultados acima têm o mesmo lado direito ( 180^circ), podemos igualar os lados esquerdos:
m(ang<= ACB)+m(ang<= ACD) =m(ang<= CAB)+m(ang<= ABC)+m(ang<= ACB)
Basta subtrair m(ang<= ACB) de ambos os lados para obter
m(ang<= ACD) =m(ang<= CAB)+m(ang<= ABC)

Resposta

Assim, fica provado que a medida de qualquer ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

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