Prove que a soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90^circ.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo retângulo ABC com ang<= C = 90^circ. Precisamos provar que a soma dos outros dois ângulos, ang<= A e ang<= B, é igual a 90^circ.

Passo 2

Traçamos a reta r que passa por C e é paralela a AB. Ou seja,
AB paral<=l r,, Cin r

Passo 3

Como ABparal<=l r e AC é transversal, os ângulos
ang<= ACD (formado por AC e r) e ang<= CAB (no triângulo) são alternos internos, logo
ang<= ACD = ang<= CAB = ang<= A
De modo semelhante, como ABparal<=l r e BC é transversal,
ang<= DCB = ang<= ABC = ang<= B

Passo 4

No ponto C, as retas AC, r e BC formam uma linha reta em r. Portanto, os ângulos adjacentes satisfazem
ang<= ACD + ang<= ACB + ang<= DCB = 180^circ
Mas ang<= ACB = 90^circ por ser o ângulo reto do triângulo. Assim
ang<= ACD + ang<= DCB = 180^circ - 90^circ = 90^circ

Passo 5

Substituindo ang<= ACD = ang<= A e ang<= DCB = ang<= B, concluímos
ang<= A + ang<= B = 90^circ

Resposta

A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90^circ.

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