Prove que dois círculos distintos não podem ter mais do que dois pontos em comum.
Se dois círculos são tangentes a uma mesma reta em um mesmo ponto então eles são chamados de círculos tangentes, e o ponto de ponto de contacto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que duas circunferências distintas não podem ter mais do que dois pontos em comum. O tema aqui é Geometria Elementar, mais precisamente o estudo de circunferências e o número máximo de interseções entre elas. Para resolver, vamos usar o fato fundamental de que por três pontos não colineares passa exatamente uma única circunferência.
Passo 2
Lembremos do Teorema da Circunferência Única: “Dados três pontos não colineares
,
e
, existe uma e somente uma circunferência que os contém.” A ideia de prova desse teorema baseia-se em construir as mediatrizes dos segmentos
e
: o seu ponto de interseção é o centro da circunferência desejada, e o raio é a distância desse centro a qualquer dos pontos.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que duas circunferências
e
distintas tenham pelo menos três pontos comuns
,
e
. Como estes três pontos não são colineares (caso fossem colineares, estariam todos sobre uma reta e não poderiam pertencer simultaneamente a duas circunferências fechadas distintas), pelo Teorema da Circunferência Única existe uma única circunferência que passa por
,
e
. Portanto, tanto
quanto
deveriam coincidir com essa única circunferência, o que contradiz a hipótese de serem distintas.
Passo 4
Da contradição acima segue que a hipótese de existirem três ou mais pontos de interseção é impossível. Logo, duas circunferências distintas só podem ter no máximo dois pontos em comum.
Resposta
Duas circunferências distintas não podem ter mais do que dois pontos em comum.