Prove por indução que:
a) n!>= 2^n para todo n >= 4;

Passo 1

Estamos trabalhando com o conteúdo de prova por indução matemática e queremos mostrar que a desigualdade n!>= 2^n vale para todo n>=4. Vamos precisar da definição de princípio de indução: base e passo indutivo.

Passo 2

Base da indução: para n=4 calculamos
4! = 24
e
2^4 = 16
Como 24 >= 16, a desigualdade vale para n=4.

Passo 3

Hipótese de indução: assuma que para algum k>=4 já vale
k! >= 2^k

Passo 4

Passo indutivo: precisamos provar que
(k+1)! >= 2^k+1
Começamos escrevendo
(k+1)! = (k+1)cdot k!
Pela hipótese de indução temos k! >= 2^k, então
(k+1)! >= (k+1)cdot 2^k
Como k>=4, então k+1>=5>2, logo
(k+1)cdot2^k >= 2cdot2^k = 2^k+1
Assim concluímos o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a desigualdade n!>=2^n vale para todo n>=4.

Resposta

Portanto, provamos que n! >= 2^n para todo n >= 4.

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