Prove por indução que:
a)
para todo
;
a)
Passo 1
Estamos trabalhando com o conteúdo de prova por indução matemática e queremos mostrar que a desigualdade
vale para todo
. Vamos precisar da definição de princípio de indução: base e passo indutivo.
Passo 2
Base da indução: para
calculamos
e
Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: assuma que para algum
já vale
Passo 4
Passo indutivo: precisamos provar que
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução temos
, então
Como
, então
, logo
Assim concluímos o passo indutivo.
Passo 5
Pelo princípio da indução, a desigualdade
vale para todo
.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo
.