Sejam A um anel, a e belementos de A e m e n inteiros. Verifique que:
b) m(a cdot b)=(m a) b

Passo 1

No exercício temos um anel A, elementos a,e b em A e um inteiro m. O objetivo é verificar a identidade
m(acdot b) = (m a),b
Esse conteúdo usa a definição de multiplicação de um elemento do anel por um inteiro e prova por indução.

Passo 2

Definimos a multiplicação de um inteiro m por um elemento x de A do seguinte modo:
Para m>0,
m x = x + x + cdots + x (m vezes);
Para m=0,
0,x = 0;
Para m<0,
m x = -l((-m)xr)

Passo 3

Vamos provar a identidade para m≥0 por indução:
Base (m=0):
0(acdot b)=0,
(0,a)b=0,b=0,
logo vale para m=0.
Passo indutivo: suponha que
m(acdot b)=(m a)b
Então
(m+1)(acdot b)=m(acdot b)+(acdot b)=(m a)b+(acdot b)=((m a)+a)b=((m+1)a)b
Assim vale para m+1.

Passo 4

Para m<0 usamos a definição de simétrico:
Se m<0, escrevemos m=-k com k>0. Então
m(acdot b)= -l(k(acdot b)r)
Pela parte já provada,
-l(k(acdot b)r)=-l((k a)br)=(-k a)b=(m a)b

Passo 5

Portanto, para todo inteiro m e quaisquer a,b em A vale
m(acdot b)=(m a)b

Resposta

Foi demonstrado que, para todo inteiro m e elementos a,b no anel A, m(a·b)=(m a)b.

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