Sejam
um anel, a e belementos de
e
e
inteiros. Verifique que:
b)
b)
Passo 1
No exercício temos um anel A, elementos a,e b em A e um inteiro m. O objetivo é verificar a identidade
Esse conteúdo usa a definição de multiplicação de um elemento do anel por um inteiro e prova por indução.
Passo 2
Definimos a multiplicação de um inteiro m por um elemento x de A do seguinte modo:
Para m>0,
Para m>0,
Para m=0,
Para m<0,
Passo 3
Vamos provar a identidade para m≥0 por indução:
Base (m=0):
Base (m=0):
logo vale para m=0.
Passo indutivo: suponha que
Passo indutivo: suponha que
Então
Assim vale para m+1.
Passo 4
Para m<0 usamos a definição de simétrico:
Se m<0, escrevemos m=-k com k>0. Então
Se m<0, escrevemos m=-k com k>0. Então
Pela parte já provada,
Passo 5
Portanto, para todo inteiro m e quaisquer a,b em A vale
Resposta
Foi demonstrado que, para todo inteiro m e elementos a,b no anel A, m(a·b)=(m a)b.