23.5 Prove as regras dos logaritmos.
Denotemos M=b^x e N=b^y; então x=log b M e y=log b N.
I. Como M N=b^x cdot b^y=b^x+y, então log b M N=x+y=log b M+log b N.
II. Como MN=b^xb^y=b^x-y, então log b MN=x-y=log b M-log b N.
III. Como M^p=(b^x)^p=b^p x, então log b M^p=p x=p log b M.

Passo 1

O enunciado pede para provar as três regras fundamentais dos logaritmos (produto, quociente e potência). Vamos usar a definição de logaritmo logb M = x se e somente se b^x = M, junto com as propriedades das potências (multiplicação, divisão e potência de potência).

Passo 2

Para provar a regra do produto, definimos M = b^x e N = b^y, de modo que logb M = x e logb N = y. Então
MN = b^x cdot b^y = b^x+y
Como logb(MN) é o expoente que eleva b a MN, temos
logb(MN) = x + y = logb M + logb N

Passo 3

Para provar a regra do quociente, usamos as mesmas definições M = b^x e N = b^y. Então
MN = b^xb^y = b^x-y
Logo, pelo mesmo raciocínio do logaritmo,
logbl(MNr) = x - y = logb M - logb N

Passo 4

Para provar a regra da potência, tomamos M = b^x e um número real p. Então
M^p = l(b^xr)^p = b^xp
Logo,
logbl(M^pr) = xp = p,logb M

Resposta

As regras dos logaritmos são:
  • logb(MN) = logb M + logb N
  • logbl(tfracMNr) = logb M - logb N
  • logb(M^p) = p,logb M

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