23.5 Prove as regras dos logaritmos.
Denotemos
e
; então
e
.
I. Como
, então
.
II. Como
, então
.
III. Como
, então
.
I. Como
II. Como
III. Como
Passo 1
O enunciado pede para provar as três regras fundamentais dos logaritmos (produto, quociente e potência). Vamos usar a definição de logaritmo
se e somente se
, junto com as propriedades das potências (multiplicação, divisão e potência de potência).
Passo 2
Para provar a regra do produto, definimos
e
, de modo que
e
. Então
Como
é o expoente que eleva
a
, temos
Passo 3
Para provar a regra do quociente, usamos as mesmas definições
e
. Então
Logo, pelo mesmo raciocínio do logaritmo,
Passo 4
Para provar a regra da potência, tomamos
e um número real
. Então
Logo,
Resposta
As regras dos logaritmos são: