Prove que se m e n são retas equidistantes então m e n são paralelas ou coincidentes.

Passo 1

Vamos entender o que significa “duas retas m e n são equidistantes”. Significa que existe uma constante d>=0 tal que, para todo ponto X sobre m, a menor distância de X até n vale sempre
dist(X,n)=d
O que precisamos mostrar é que, nessas condições, ou m e n coincidem ou então são paralelas.

Passo 2

Primeiro caso: suponha que a constante de equidistância seja d=0. Então para todo Xin m temos
dist(X,n)=0,
ou seja, cada ponto de m também pertence a n. Daí msubseteq n. Mas duas retas que se contêm mutuamente coincidem, logo
m=n

Passo 3

Segundo caso: suponha agora que d>0. Vamos fazer prova por contradição. Se m e n não fossem paralelas nem coincidentes, elas se cruzariam em exatamente um ponto, digamos P. Então, como Pin m, deveríamos ter
dist(P,n)=d>0
Por outro lado, P está em n, então a distância de P até n é zero. Isso dá
0=dist(P,n)=d>0,
uma contradição.

Resposta

Logo, as únicas possibilidades são que m e n coincidam ( d=0) ou que não se intersectem e, em um plano, isso só ocorre quando são paralelas. Portanto, retas equidistantes são paralelas ou coincidentes.

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