Prove que se
e
são retas equidistantes então
e
são paralelas ou coincidentes.
Passo 1
Vamos entender o que significa “duas retas
e
são equidistantes”. Significa que existe uma constante
tal que, para todo ponto
sobre
, a menor distância de
até
vale sempre
O que precisamos mostrar é que, nessas condições, ou
e
coincidem ou então são paralelas.
Passo 2
Primeiro caso: suponha que a constante de equidistância seja
. Então para todo
temos
ou seja, cada ponto de
também pertence a
. Daí
. Mas duas retas que se contêm mutuamente coincidem, logo
Passo 3
Segundo caso: suponha agora que
. Vamos fazer prova por contradição. Se
e
não fossem paralelas nem coincidentes, elas se cruzariam em exatamente um ponto, digamos
. Então, como
, deveríamos ter
Por outro lado,
está em
, então a distância de
até
é zero. Isso dá
uma contradição.
Resposta
Logo, as únicas possibilidades são que
e
coincidam (
) ou que não se intersectem e, em um plano, isso só ocorre quando são paralelas. Portanto, retas equidistantes são paralelas ou coincidentes.