Um quadrado é um retângulo que também é um losango. Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o quadrilátero é um retângulo.

Passo 1

O enunciado diz que num quadrilátero ABCD as diagonais AC e BD são congruentes e se cortam em E, que é ponto médio de ambas. O que precisamos mostrar é que ABCD é um retângulo. Para isso usaremos duas noções clássicas de geometria plana:
  1. Um quadrilátero cujas diagonais se bissetam (isto é, se cortam mutuamente em seus pontos médios) é um paralelogramo.
  2. Num paralelogramo, se as diagonais são iguais, então ele é um retângulo (pode-se usar a lei do paralelogramo e o teorema de Pitágoras inverso).

Passo 2

Como as diagonais AC e BD se cortam em E e E é ponto médio de ambas, temos
AE = EC e BE = ED
Isso é exatamente a condição que caracteriza um paralelogramo, logo concluímos que ABCD é um paralelogramo.

Passo 3

Num paralelogramo vale a lei do paralelogramo:
AC^2 + BD^2 ;=; 2l(AB^2 + BC^2r)
Como AC e BD são congruentes (pelos dados), escrevemos AC=BD e obtemos
2,AC^2 ;=; 2l(AB^2 + BC^2r) Longrightarrow AC^2 ;=; AB^2 + BC^2

Passo 4

A relação
AB^2 + BC^2 = AC^2
é a conversa do teorema de Pitágoras aplicada ao triângulo ABC. Portanto, o ângulo ABC é reto:
ang<= ABC = 90^circ
Num paralelogramo, ter um ângulo reto implica que todos os ângulos são retos, ou seja, ABCD é um retângulo.

Resposta

O quadrilátero é um retângulo.

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