Um quadrado é um retângulo que também é um losango. Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o quadrilátero é um retângulo.
Passo 1
O enunciado diz que num quadrilátero
as diagonais
e
são congruentes e se cortam em
, que é ponto médio de ambas. O que precisamos mostrar é que
é um retângulo. Para isso usaremos duas noções clássicas de geometria plana:
- Um quadrilátero cujas diagonais se bissetam (isto é, se cortam mutuamente em seus pontos médios) é um paralelogramo.
- Num paralelogramo, se as diagonais são iguais, então ele é um retângulo (pode-se usar a lei do paralelogramo e o teorema de Pitágoras inverso).
Passo 2
Como as diagonais
e
se cortam em
e
é ponto médio de ambas, temos
Isso é exatamente a condição que caracteriza um paralelogramo, logo concluímos que
é um paralelogramo.
Passo 3
Num paralelogramo vale a lei do paralelogramo:
Como
e
são congruentes (pelos dados), escrevemos
e obtemos
Passo 4
A relação
é a conversa do teorema de Pitágoras aplicada ao triângulo
. Portanto, o ângulo
é reto:
Num paralelogramo, ter um ângulo reto implica que todos os ângulos são retos, ou seja,
é um retângulo.
Resposta
O quadrilátero é um retângulo.