25.77 Quantos arranjos diferentes podem ser feitos com os fatores do termo a^2 b^4 c^5 escritos por extenso?

Passo 1

O enunciado pede quantos arranjos distintos podem ser formados escrevendo por extenso os fatores do termo a^2b^4c^5. O conteúdo aqui é permutações de um multiconjunto com repetições.

Passo 2

Ao escrever os fatores temos os símbolos
a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,c
ou seja, 2 ocorrências de a, 4 de b e 5 de c, totalizando
n = 2 + 4 + 5 = 11
elementos.

Passo 3

Para permutar n elementos com repetições de n1,n2,dots usamos a fórmula
arranjos = n!n1!,n2!,cdots
Aqui n=11, na=2, nb=4, nc=5, logo
arranjos = 11!2!,4!,5!

Passo 4

Calculemos os fatoriais:
11! = 39916800, 2! = 2, 4! = 24, 5! = 120,
portanto
2!,4!,5! = 2 times 24 times 120 = 5760

Passo 5

Dividindo, obtemos
399168005760 = 6930

Resposta

6930

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