22.8 Quantos inteiros consecutivos, começando com 10, são necessários para que sua soma seja 2035?

Passo 1

O enunciado pede quantos inteiros consecutivos, começando em 10, precisamos somar para obter 2035. Isso é uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a1 = 10, razão r = 1 e número de termos k. Vamos usar a fórmula da soma de uma PA.

Passo 2

Em uma PA, a soma dos k primeiros termos é dada por S = tfrack,(a1 + ak)2. Aqui ak = a1 + (k-1)r = 10 + (k-1). Logo temos
S = kl(10 + (10 + (k-1))r)2 = k,(20 + k - 1)2 = k,(k + 19)2
Impondo S = 2035, obtemos
k,(k + 19)2 = 2035

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e organizando, chega-se à equação quadrática
k^2 + 19k - 4070 = 0
Para resolver, calculamos o discriminante:
De<a = 19^2 - 4cdot1cdot(-4070) = 361 + 16280 = 16641
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
k = -19 pm raiz166412 = -19 pm 1292

Passo 4

As soluções são k = tfrac-19 + 1292 = 55 e k = tfrac-19 - 1292 = -74. Como k é o número de termos, descartamos -74 e ficamos com k = 55.

Resposta

55

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