Q 1.3. Represente P, Q, \overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}, P+Q,-P,-Q, P-Q, 2 P e \frac{1}{2} P se
P=(0,1) e Q=(3,1).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em \mathbb{R}^2,
P = (0,1),\quad Q = (3,1),
e pede para representar:
\,P,\;Q,\;\overrightarrow{PQ},\;\overrightarrow{QP},\;P+Q,\;-P,\;-Q,\;P-Q,\;2P,\;\tfrac12P.
Vamos usar as definições:
– soma de vetores (x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2),
– diferença de vetores (x_1,y_1)-(x_2,y_2) = (x_1-x_2,y_1-y_2),
– vetor ligado \overrightarrow{AB} = B - A,
– múltiplo escalar \lambda(x,y) = (\lambda x,\lambda y).

Passo 2

Como vetores livres (ou pontos-vetores a partir da origem), temos
P = (0,1), \quad Q = (3,1).

Passo 3

O vetor \overrightarrow{PQ} sai de P e chega em Q, logo
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (3,1) - (0,1) = (3,0).
Analogamente,
\overrightarrow{QP} = P - Q = (0,1) - (3,1) = (-3,0).

Passo 4

A soma e a diferença de P e Q são
P + Q = (0,1) + (3,1) = (3,2), \quad P - Q = (0,1) - (3,1) = (-3,0).

Passo 5

Os vetores opostos são
-\,P = -(0,1) = (0,-1), \quad -\,Q = -(3,1) = (-3,-1).

Passo 6

Os múltiplos escalares de P são
2P = 2\,(0,1) = (0,2), \quad \tfrac12P = \tfrac12\,(0,1) = \bigl(0,\tfrac12\bigr).

Resposta

  • P = (0,1)
  • Q = (3,1)
  • \overrightarrow{PQ} = (3,0)
  • \overrightarrow{QP} = (-3,0)
  • P + Q = (3,2)
  • -P = (0,-1)
  • -Q = (-3,-1)
  • P - Q = (-3,0)
  • 2P = (0,2)
  • \tfrac12P = \bigl(0,\tfrac12\bigr)

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