Resolva os seguintes sistemas de equações:
(1) 1x-2y-2z=0,
(2) 2x+3y+1z=1,
(3) 3x-1y-3z=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não-linear nas incógnitas x, y e z dado por frações de 1/x, 1/y e 1/z; o conteúdo principal é usar mudança de variável para transformar em um sistema linear e depois aplicar eliminação. Precisaremos lembrar que ao definir novas variáveis como inversos de x, y e z, obtemos um sistema de equações lineares.

Passo 2

Definimos as variáveis auxiliares
a=1x, b=1y, c=1z
Substituindo no sistema original, obtemos:
a-2b-2c=0, 2a+3b+c=1, 3a-b-3c=3

Passo 3

Da primeira equação extraímos a em função de b e c:
a-2b-2c=0 Longrightarrow a=2b+2c
Substituímos esse valor de a nas duas últimas equações:

Passo 4

No lugar de a nas equações 2 e 3, temos:
2(2b+2c)+3b+c=1Longrightarrow7b+5c=1,
3(2b+2c)-b-3c=3Longrightarrow5b+3c=3
Assim obtemos o sistema de duas equações lineares em b e c.

Passo 5

Resolvendo
7b+5c=1, 5b+3c=3,
fazemos eliminação: multiplicando a primeira por 5 e a segunda por 7 e subtraindo, chegamos a
4c=-16implies c=-4
Substituindo em 5b+3c=3
5b+3(-4)=3implies5b=15implies b=3
Finalmente, a=2b+2c=2cdot3+2(-4)=6-8=-2

Passo 6

Voltando às variáveis originais:
x=1a=-tfrac12, y=1b=tfrac13, z=1c=-tfrac14

Resposta

(x,y,z)=l(-tfrac12,,tfrac13,,-tfrac14r)

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