Resolva os seguintes sistemas de equações:
Se o numerador de uma fração for acrescido de 2 e o denominador de 1 , a fração resultante será igual a 1 / 2. Entretanto, se o numerador for acrescido em 1 e o denominador diminuído em 2, a fração resultante será 3 / 5. Determine a fração.

Passo 1

O enunciado quer achar a fração tfracxy que atende a dois cenários: se elevamos o numerador em 2 e o denominador em 1, a fração vira 1/2; se aumentarmos o numerador em 1 e diminuirmos o denominador em 2, a fração vira 3/5. O conteúdo aqui é transformar equações fracionárias em lineares por multiplicação cruzada e depois resolver o sistema por substituição.

Passo 2

Para cada condição, aplicamos multiplicação cruzada e obtemos duas equações lineares:
Da primeira condição
x+2y+1=12
multiplicando em cruz:
2(x+2)=1(y+1) implies 2x+4=y+1 implies 2x - y +3=0
Da segunda condição
x+1y-2=35
multiplicando em cruz:
5(x+1)=3(y-2) implies 5x+5=3y-6 implies 5x - 3y +11=0

Passo 3

Agora temos o sistema linear
2x - y +3=0, 5x -3y +11=0
Isolamos y na primeira equação:
y = 2x + 3
Substituindo isso na segunda equação:
5x - 3(2x+3) +11 = 0 implies 5x -6x -9 +11 = 0 implies -x +2 = 0 implies x = 2
Logo:
y = 2cdot2 +3 = 7

Resposta

A fração original é tfrac27.

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