A é onze vezes mais velha que B. Dentro de alguns anos, A será cinco vezes mais velha que B e, cinco anos depois, ela terá o triplo da idade de B. Quais as idades atuais de A e B ?

Passo 1

O enunciado diz que atualmente A é onze vezes mais velha que B. Daqui a alguns anos (digamos t anos), A terá cinco vezes a idade de B. E mais cinco anos após esse momento, A terá o triplo da idade de B. Para resolver, vamos usar álgebra montando três equações em A, B e t.

Passo 2

Definimos
A = 11,B
pela primeira parte.
Daqui a t anos teremos
A + t = 5l(B + tr)
Cinco anos depois desse instante (ou seja, t+5 anos a partir de agora)
A + t + 5 = 3l(B + t + 5r)

Passo 3

Usamos a segunda equação para expressar t.
A + t = 5B + 5t Longrightarrow A - 5B = 4t Longrightarrow t = A - 5B4
Como A = 11B, segue
t = 11B - 5B4 = 6B4 = 3B2
Para t ser inteiro, B deve ser par. Então escrevemos B = 2k, o que dá t = 3k e A = 11cdot 2k = 22k.

Passo 4

Substituímos A = 22k, B=2k e t=3k na terceira equação:
A + t + 5 = 22k + 3k + 5 = 25k + 5,
3l(B + t + 5r) = 3l(2k + 3k + 5r) = 3(5k + 5) = 15k + 15
Igualando,
25k + 5 = 15k + 15 Longrightarrow 10k = 10 Longrightarrow k = 1

Passo 5

Com k=1 vem
B = 2k = 2, A = 22k = 22, t = 3k = 3
Verificação rápida: hoje A=22,B=2; em 3 anos A=25,B=5 e 25=5cdot5; em mais 5 anos A=30,B=10 e 30=3cdot10.

Resposta

A = 22 anos e B = 2 anos.

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