Se o triplo do maior de dois números for dividido pelo menor, o quociente será 6 e o resto será 6 . Se o quíntuplo do menor for dividido pelo maior, o quociente será 2 e o resto será 3. Determine os números.

Passo 1

O enunciado dá duas informações do tipo “divisão com resto” envolvendo dois números inteiros, sendo um maior e outro menor. O conteúdo é o algoritmo da divisão inteira: para inteiros a e b>0, existem únicos quociente q e resto r tais que
a = b,q + r, 0 <= r < b
Vamos chamar o maior número de x e o menor de y.

Passo 2

“Se o triplo do maior for dividido pelo menor, o quociente será 6 e o resto será 6.” Aplicando ao par l(a=3x,;b=yr) com q=6 e r=6, temos
3x = 6y + 6

Passo 3

“Se o quíntuplo do menor for dividido pelo maior, o quociente será 2 e o resto será 3.” Aplicando ao par l(a=5y,;b=xr) com q=2 e r=3, resulta
5y = 2x + 3

Passo 4

Da equação 3x = 6y + 6 tiramos
x = 2y + 2
Substituindo em 5y = 2x + 3
5y = 2(2y + 2) + 3 = 4y + 7 Longrightarrow 5y - 4y = 7 Longrightarrow y = 7
Logo
x = 2cdot 7 + 2 = 16

Passo 5

Verificando: 3x=48 dividido por 7 dá quociente 6, resto 6; 5y=35 dividido por 16 dá quociente 2, resto 3. Tudo confere.

Resposta

Os números são 16 (maior) e 7 (menor).

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