15.19 Duas partículas movem-se a velocidades distintas mas constantes ao longo de uma circunferência de 276 pés.
Partindo no mesmo instante e do mesmo ponto, quando elas se movem em direções opostas, encontram-se a cada 6 segundos e, quando movem-se na mesma direção, uma ultrapassa a outra a cada 23 segundos. Determine suas velocidades.

Passo 1

O enunciado fala de duas partículas que percorrem uma circunferência de 276 pés com velocidades constantes. Quando vão em sentidos opostos, encontram-se a cada 6 s; quando vão no mesmo sentido, uma ultrapassa a outra a cada 23 s. O conteúdo é movimento relativo uniforme em pista circular, e vamos usar a ideia de velocidade relativa (soma ou diferença de velocidades) para escrever equações a partir dos tempos de encontro.

Passo 2

Para movimentos em sentidos opostos, a velocidade relativa é a soma das velocidades. Como elas se encontram a cada 6 s percorrendo juntas uma volta (276 pés), temos:
v1 + v2 = 2766 = 46

Passo 3

Para movimentos no mesmo sentido, a velocidade relativa é a diferença das velocidades. Elas se ultrapassam a cada 23 s, ou seja, a mais rápida fecha a volta relativa de 276 pés em 23 s:
|v1 - v2| = 27623 = 12

Passo 4

Assumindo que é a maior velocidade, podemos escrever . Agora resolvemos o sistema:

Passo 5

Somando as duas equações, obtemos 2v1 = 58 e, portanto, v1 = 29 ft/s. Substituindo em v1 + v2 = 46, vem v2 = 17 ft/s.

Resposta

As velocidades são 29 ft/s e 17 ft/s.

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