15.19 Duas partículas movem-se a velocidades distintas mas constantes ao longo de uma circunferência de 276 pés.
Partindo no mesmo instante e do mesmo ponto, quando elas se movem em direções opostas, encontram-se a cada 6 segundos e, quando movem-se na mesma direção, uma ultrapassa a outra a cada 23 segundos. Determine suas velocidades.
Passo 1
O enunciado fala de duas partículas que percorrem uma circunferência de 276 pés com velocidades constantes. Quando vão em sentidos opostos, encontram-se a cada 6 s; quando vão no mesmo sentido, uma ultrapassa a outra a cada 23 s. O conteúdo é movimento relativo uniforme em pista circular, e vamos usar a ideia de velocidade relativa (soma ou diferença de velocidades) para escrever equações a partir dos tempos de encontro.
Passo 2
Para movimentos em sentidos opostos, a velocidade relativa é a soma das velocidades. Como elas se encontram a cada 6 s percorrendo juntas uma volta (276 pés), temos:
Passo 3
Para movimentos no mesmo sentido, a velocidade relativa é a diferença das velocidades. Elas se ultrapassam a cada 23 s, ou seja, a mais rápida fecha a volta relativa de 276 pés em 23 s:
Passo 4
Assumindo que
é a maior velocidade, podemos escrever
. Agora resolvemos o sistema:
Passo 5
Somando as duas equações, obtemos
e, portanto,
ft/s. Substituindo em
, vem
ft/s.
Resposta
As velocidades são 29 ft/s e 17 ft/s.