Quais das seguintes são formas quadráticas?
(h) (x1-x3)^2+2(x1+4 x2)^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x1,x2,x3) = l(x1-x3r)^2 ;+; 2l(x1+4,x2r)^2
é uma forma quadrática. Em geral, uma forma quadrática em n variáveis é um polinômio homogêneo de grau 2, sem termos lineares nem termos constantes, ou seja, pode ser escrita como
f(x) = x^T A,x
para alguma matriz simétrica A.

Passo 2

Vamos relembrar a definição: uma expressão em (x1,dots,xn) é forma quadrática se, ao expandi-la, todos os monômios têm grau exatamente 2 e não há termos de grau 0 ou 1. Basta, portanto, verificar que f é homogênea de grau 2.

Passo 3

Expandindo cada quadrado:
(x1-x3)^2 = x1^2 - 2,x1x3 + x3^2,
2,(x1+4,x2)^2 = 2l(x1^2 + 8,x1x2 +16,x2^2r) = 2,x1^2 +16,x1x2 +32,x2^2
Somando, obtemos
f(x1,x2,x3) = 3,x1^2 +16,x1x2 -2,x1x3 +32,x2^2 + x3^2
Todos os termos são de grau 2, sem termos lineares ou constantes.

Passo 4

Como f é um polinômio homogêneo de grau 2, ela é de fato uma forma quadrática. Para maior clareza, podemos identificar a matriz simétrica A tal que f(x)=x^TA,x:
A = 3 & 8 & -1 8 & 32 & 0 -1 & 0 & 1 ,
onde usamos o fato de que um termo 2Aijxixj gera coeficiente 2Aij em f.

Resposta

A expressão dada é uma forma quadrática.

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