onde L^r é uma matriz triangular superior.
(b) Determine as inversas de E1, E2, E3 e faça L=E1^-1 E2^-1 E3^-1. Que tipo de matriz é L ? Verifique que A=L U.
Passo 1
O enunciado pede a decomposição de A em A=L,U usando matrizes elementares. Para isso vamos aplicar eliminações de Gauss sem pivoteamento, ou seja, usar matrizes elementares Ei que realizam operações do tipo “Rjto Rj-m,Rk”. Depois veremos que U=E3E2E1A é triangular superior e que
L=E1^-1E2^-1E3^-1
é triangular inferior unitária.
Passo 2
Queremos eliminar o elemento a21=6 sob o pivô a11=2. O multiplicador é
m21=62=3
A operação é R2to R2-3R1, realizada pela matriz elementar
E1 = I - 3,E21 = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
onde E21 tem 1 na posição (2,1) e zeros nos demais lugares.
Passo 3
Em seguida eliminamos a31=4 sob o mesmo pivô a11=2. O multiplicador é
m31=42=2,
e a operação R3to R3-2R1 corresponde à matriz elementar
E2 = I - 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1
Passo 4
Após aplicar E2E1A obtemos zeros abaixo de a11 e a nova submatriz é
0 & 1 & 2 0 & -1 & 1
nas linhas 2–3 e colunas 2–3. Para eliminar -1 em (3,2) usamos