Seja
A=(lll 2 & 1 & 1 6 & 4 & 5 4 & 1 & 3 )
(a) Ache matrizes elementares E1, E2, E3 tais que
E3 E2 E1 A=U
onde L^r é uma matriz triangular superior.
(b) Determine as inversas de E1, E2, E3 e faça L=E1^-1 E2^-1 E3^-1. Que tipo de matriz é L ? Verifique que A=L U.

Passo 1

O enunciado pede a decomposição de A em A=L,U usando matrizes elementares. Para isso vamos aplicar eliminações de Gauss sem pivoteamento, ou seja, usar matrizes elementares Ei que realizam operações do tipo “ Rjto Rj-m,Rk”. Depois veremos que U=E3E2E1A é triangular superior e que
L=E1^-1E2^-1E3^-1
é triangular inferior unitária.

Passo 2

Queremos eliminar o elemento a21=6 sob o pivô a11=2. O multiplicador é
m21=62=3
A operação é R2to R2-3R1, realizada pela matriz elementar
E1 = I - 3,E21 = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
onde E21 tem 1 na posição (2,1) e zeros nos demais lugares.

Passo 3

Em seguida eliminamos a31=4 sob o mesmo pivô a11=2. O multiplicador é
m31=42=2,
e a operação R3to R3-2R1 corresponde à matriz elementar
E2 = I - 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1

Passo 4

Após aplicar E2E1A obtemos zeros abaixo de a11 e a nova submatriz é
0 & 1 & 2 0 & -1 & 1
nas linhas 2 3 e colunas 2 3. Para eliminar -1 em (3,2) usamos
m32=-11=-1,
e a operação R3to R3-(-1)R2=R3+R2 é feita por
E3 = I - m32,E32 = I + E32 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Logo
U = E3E2E1A = 2 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3

Passo 5

Agora encontramos as inversas, lembrando que (I - mEij)^-1=I + mEij:
E1^-1 = I + 3,E21 = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2^-1 = I + 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 , E3^-1 = I - E32 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Definimos
L = E1^-1,E2^-1,E3^-1 = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 2 & -1 & 1
Note que L é triangular inferior com diagonal igual a 1.

Passo 6

Para verificar que A=L,U basta multiplicar:
L,U = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 2 & -1 & 1 2 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 = 2 & 1 & 1 6 & 4 & 5 4 & 1 & 3 = A

Resposta

L
U
L é matriz triangular inferior com diagonal unitária e verifica-se .

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