e pede: (a) uma matriz elementar E com E,A=B; (b) uma matriz elementar F com F,B=C; (c) verificar se C é equivalente-linha de A. Vamos usar operações elementares de linha e suas matrizes associadas.
Passo 2
Para ir de A a B, note que em B a terceira linha é
(linha 3 de (A)) + (linha 1 de (A)) = (1,0,2)+(1,2,4)=(2,2,6)
Isso é a operação de linha R3to R3+R1. A matriz elementar correspondente é
E = I + E31 = 1&0&00&1&01&0&1
De fato,
E,A =1&0&00&1&01&0&1 1&2&42&1&31&0&2 =1&2&42&1&32&2&6 = B
Passo 3
Para ir de B a C, observe que em C a segunda linha vem de
(linha 2 de (B)) - (linha 3 de (B)) = (2,1,3)-(2,2,6)=(0,-1,-3)
Esta é a operação de linha R2to R2-R3. A matriz elementar é
F = I - E23 = 1&0&00&1&-10&0&1
Logo
F,B =1&0&00&1&-10&0&1 1&2&42&1&32&2&6 =1&2&40&-1&-32&2&6 = C
Passo 4
Como
C = F,B = F,(E,A) = (F,E),A
e E, F são matrizes elementares (logo invertíveis), seu produto F,E também é invertível. Logo C é obtida de A por operações elementares de linha, ou seja, C é equivalente-linha de A.
Resposta
(a)
E = 1&0&00&1&01&0&1
(b)
F = 1&0&00&1&-10&0&1
(c) Sim. Como C=(F,E)A com E e F elementares, C é equivalente-linha de A.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Steven J - Álgebra Linear com Aplicações - 8ª Edição - Capítulo 1.1.5 - Ex. 5