Sejam
A=(lll 1 & 2 & 4 2 & 1 & 3 1 & 0 & 2 ), B=(lll 1 & 2 & 4 2 & 1 & 3 2 & 2 & 6 ) C=(rrr 1 & 2 & 4 0 & -1 & -3 2 & 2 & 6 )
(a) Ache uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) Ache uma matriz elementar F tal que F B= C.
(c) C é equivalente linha de A ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=1&2&42&1&31&0&2, B=1&2&42&1&32&2&6, C=1&2&40&-1&-32&2&6
e pede: (a) uma matriz elementar E com E,A=B; (b) uma matriz elementar F com F,B=C; (c) verificar se C é equivalente-linha de A. Vamos usar operações elementares de linha e suas matrizes associadas.

Passo 2

Para ir de A a B, note que em B a terceira linha é
(linha 3 de (A)) + (linha 1 de (A)) = (1,0,2)+(1,2,4)=(2,2,6)
Isso é a operação de linha R3to R3+R1. A matriz elementar correspondente é
E = I + E31 = 1&0&00&1&01&0&1
De fato,
E,A =1&0&00&1&01&0&1 1&2&42&1&31&0&2 =1&2&42&1&32&2&6 = B

Passo 3

Para ir de B a C, observe que em C a segunda linha vem de
(linha 2 de (B)) - (linha 3 de (B)) = (2,1,3)-(2,2,6)=(0,-1,-3)
Esta é a operação de linha R2to R2-R3. A matriz elementar é
F = I - E23 = 1&0&00&1&-10&0&1
Logo
F,B =1&0&00&1&-10&0&1 1&2&42&1&32&2&6 =1&2&40&-1&-32&2&6 = C

Passo 4

Como
C = F,B = F,(E,A) = (F,E),A
e E, F são matrizes elementares (logo invertíveis), seu produto F,E também é invertível. Logo C é obtida de A por operações elementares de linha, ou seja, C é equivalente-linha de A.

Resposta

(a)
E = 1&0&00&1&01&0&1
(b)
F = 1&0&00&1&-10&0&1
(c) Sim. Como C=(F,E)A com E e F elementares, C é equivalente-linha de A.

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