Seja
. Para
qualquer, ponhamos
para todo
. Prove:
(a) Para todo
é um subespaço vetorial de
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
.
(a) Para todo
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vamos considerar o espaço vetorial E =
e, para
, definirmos
A seguir mostramos cada propriedade pedida.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de E. Primeiro, a função zero
satisfaz
para todo
, logo
. Se
, então para todo
temos
e
, daí
. Logo
. Se
e
, então
, logo
. Concluímos que
é subespaço.
Passo 3
Se
então qualquer
satisfaz
para todo
, em particular para todo
. Logo
e
.
Passo 4
Mostramos
. Se
então
anula todos os pontos de
, logo anula
e
separadamente, isto é
. Reciprocamente, se
anula
e anula
então anula
, de onde
.
Passo 5
Mostramos
. Se
qualquer
satisfaz
para todo
, logo
e
. Se
existe
e podemos escolher
tal que
e
para
. Então
mas
, logo
.
Passo 6
Prova de
. Primeiro, se
e
então
para todo
, logo
e
. Para a recíproca, dado
definimos
Passo 7
Então
e, para todo
, se
temos
e
, e se
então
, portanto
. Logo
e
.
Passo 8
Finalmente,
Mas
Passo 9
Assim
implica
e
implica
. Daí obtemos
.
Resposta
As propriedades (a)–(f) foram demonstradas.