Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, ponhamos N(X)=varphi in E ; varphi(x)=0 para todo x in X. Prove:
(a) Para todo X subset R, N(X) é um subespaço vetorial de E.
(b) X subset Y Rightarrow N(Y) subset N(X)
(c) N(X cup Y)=N(X) cap N(Y)
(d) N(X)=0 Leftrightarrow X=R
(e) N(X cap Y)=N(X)+N(Y)
(f) N(X) oplus N(Y)=E Leftrightarrow Y=R-X.

Passo 1

Vamos considerar o espaço vetorial E = F( R; R) e, para Xsubset R, definirmos N(X)=varphiin E;,varphi(x)=0 forall xin X A seguir mostramos cada propriedade pedida.

Passo 2

Mostramos que N(X) é subespaço de E. Primeiro, a função zero 0in E satisfaz 0(x)=0 para todo xin X, logo 0in N(X). Se f,gin N(X), então para todo xin X temos f(x)=0 e g(x)=0, daí (f+g)(x)=f(x)+g(x)=0. Logo f+gin N(X). Se fin N(X) e alphain R, então (alpha f)(x)=alpha,f(x)=0, logo alpha fin N(X). Concluímos que N(X) é subespaço.

Passo 3

Se Xsubset Y então qualquer varphiin N(Y) satisfaz varphi(x)=0 para todo xin Y, em particular para todo xin X. Logo varphiin N(X) e N(Y)subset N(X).

Passo 4

Mostramos N(Xcup Y)=N(X)cap N(Y). Se varphiin N(Xcup Y) então varphi anula todos os pontos de Xcup Y, logo anula X e Y separadamente, isto é varphiin N(X)cap N(Y). Reciprocamente, se varphi anula X e anula Y então anula Xcup Y, de onde N(X)cap N(Y)subset N(Xcup Y).

Passo 5

Mostramos N(X)=0iff X= R. Se X= R qualquer varphiin N(X) satisfaz varphi(x)=0 para todo xin R, logo varphi=0 e N(X)=0. Se Xneq R existe anotin X e podemos escolher varphi tal que varphi(a)=1 e varphi(x)=0 para xin X. Então varphiin N(X) mas varphineq 0, logo N(X)neq0.

Passo 6

Prova de . Primeiro, se e então para todo , logo e . Para a recíproca, dado definimos

Passo 7

Então phiin N(X) e, para todo yin Y, se yin Xcap Y temos f(y)=0 e phi(y)=0, e se ynotin X então phi(y)=f(y), portanto psi(y)=0. Logo psiin N(Y) e f=phi+psiin N(X)+N(Y).

Passo 8

Finalmente, N(X)oplus N(Y)=Eiff N(X)cap N(Y)=0 e N(X)+N(Y)=E Mas
N(X)cap N(Y)=N(Xcup Y), N(X)+N(Y)=N(Xcap Y)

Passo 9

Assim N(X)cap N(Y)=0 implica Xcup Y= R e N(X)+N(Y)=E implica Xcap Y=emptyset. Daí obtemos Y= Rsetminus X.

Resposta

As propriedades (a)–(f) foram demonstradas.

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