Seja
uma transformação linear. Prove que, dado qualquer
, a equação
sempre possui solução. (Uma infinidade delas se
não é invertível.)
Passo 1
A questão pede para mostrar que, dado qualquer vetor
, a ‘equação normal’
tem sempre solução. O conteúdo envolvido é o de adjunta de uma transformação linear, subespaços imagem e núcleo, e a decomposição ortogonal em
.
Passo 2
Qualquer vetor
pode ser escrito como soma de sua projeção sobre a imagem de
e um vetor ortogonal a essa imagem. Ou seja, existe decomposição
com
e
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, temos
Isso implica
, pois
.
Passo 4
Como
, existe um vetor
tal que
. Aplicando
em
, obtemos
Portanto
satisfaz
Passo 5
Concluímos que sempre existe pelo menos uma solução
, dada por qualquer vetor
que satisfaça
. Se
for invertível a solução é única; caso contrário, há infinitas soluções.
Resposta
Para todo
, basta escolher
tal que
pois então
Logo, a equação
tem sempre soluções (única se
for invertível e infinitas caso contrário).