Seja A: R^n R^m uma transformação linear. Prove que, dado qualquer b in R^m, a equação A^* A x=A^* b sempre possui solução. (Uma infinidade delas se A^* A não é invertível.)

Passo 1

A questão pede para mostrar que, dado qualquer vetor bin R^m, a ‘equação normal’
A^*A,x = A^*b
tem sempre solução. O conteúdo envolvido é o de adjunta de uma transformação linear, subespaços imagem e núcleo, e a decomposição ortogonal em R^m.

Passo 2

Qualquer vetor bin R^m pode ser escrito como soma de sua projeção sobre a imagem de A e um vetor ortogonal a essa imagem. Ou seja, existe decomposição
b = b1 + b2,
com b1 in Im(A) e b2 in Im(A)^perp

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, temos
Im(A)^perp = ker(A^*)
Isso implica A^*b2=0, pois b2inker(A^*).

Passo 4

Como b1inIm(A), existe um vetor yin R^n tal que b1 = A y. Aplicando A^* em b=b1+b2, obtemos
A^*b = A^*(b1+b2) = A^*b1 + A^*b2 = A^*(A y) + 0 = A^*A,y
Portanto x=y satisfaz
A^*A,x = A^*b

Passo 5

Concluímos que sempre existe pelo menos uma solução x, dada por qualquer vetor y que satisfaça Ay=projIm(A)(b). Se A^*A for invertível a solução é única; caso contrário, há infinitas soluções.

Resposta

Para todo bin R^m, basta escolher x=y tal que
Ay=projIm(A)(b),
pois então
A^*A,x = A^*b
Logo, a equação A^*Ax=A^*b tem sempre soluções (única se A^*A for invertível e infinitas caso contrário).

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