Sejam
e
transformações lineares. Se
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas transformações lineares A:E→F e B:F→G tais que Im(A)=Im(B*), vale (BA)+=A+B^+. Isso trata da pseudoinversa de Moore–Penrose e vamos usar suas condições de Penrose e propriedades de projeções associadas.
Passo 2
A definição de pseudoinversa diz que, para qualquer mapa linear T, sua pseudoinversa T^+ é o único operador que satisfaz as quatro equações de Penrose: 1) T T^+ T=T, 2) T^+ T T+=T+, 3) (T T+)=T T^+, 4) (T^+ T)*=T+ T. Além disso, sabe-se que T T^+ é a projeção ortogonal em Im(T) e T^+ T é a projeção ortogonal em Im(T).
Passo 3
Como Im(A)=Im(B*), segue que
Passo 4
Definindo M=BA e X=A+B+, vamos verificar as condições de Penrose para X ser a pseudoinversa de M.
Passo 5
Primeira condição (M X M=M):
Passo 6
Segunda condição (X M X=X):
Passo 7
Terceira e quarta condições (auto-adjunta):
M X=B,(AA+),B+ é auto-adjunto pois AA^+ e B^+ são adjuntos, e
X M=A+,(AA+),A=A^+A é também auto-adjunto. Portanto (M X)^=M X e (X M)^=X M.
M X=B,(AA+),B+ é auto-adjunto pois AA^+ e B^+ são adjuntos, e
X M=A+,(AA+),A=A^+A é também auto-adjunto. Portanto (M X)^=M X e (X M)^=X M.
Passo 8
Como X satisfaz todas as equações de Penrose para M, pela unicidade da pseudoinversa concluímos que (BA)+=A+B^+.
Resposta
(BA)+=A+B^+