Sejam A: E F e B: F G transformações lineares. Se I m(A)=Im(B^*), prove que (B A)^+=A^+ B^+.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas transformações lineares A:E→F e B:F→G tais que Im(A)=Im(B*), vale (BA)+=A+B^+. Isso trata da pseudoinversa de Moore–Penrose e vamos usar suas condições de Penrose e propriedades de projeções associadas.

Passo 2

A definição de pseudoinversa diz que, para qualquer mapa linear T, sua pseudoinversa T^+ é o único operador que satisfaz as quatro equações de Penrose: 1) T T^+ T=T, 2) T^+ T T+=T+, 3) (T T+)=T T^+, 4) (T^+ T)*=T+ T. Além disso, sabe-se que T T^+ é a projeção ortogonal em Im(T) e T^+ T é a projeção ortogonal em Im(T).

Passo 3

Como Im(A)=Im(B*), segue que
AA^+=PIm(A)=PIm(B^*)=B^+B

Passo 4

Definindo M=BA e X=A+B+, vamos verificar as condições de Penrose para X ser a pseudoinversa de M.

Passo 5

Primeira condição (M X M=M):
BA,(A^+B^+),BA=B,(AA^+),(B^+B),A=B,(B^+B)^2,A=BA

Passo 6

Segunda condição (X M X=X):
A^+B^+,BA,A^+B^+=A^+,(B^+B),(AA^+),B^+=A^+,(AA^+)^2,B^+=A^+,(AA^+),B^+=A^+B^+

Passo 7

Terceira e quarta condições (auto-adjunta):
M X=B,(AA+),B+ é auto-adjunto pois AA^+ e B^+ são adjuntos, e
X M=A+,(AA+),A=A^+A é também auto-adjunto. Portanto (M X)^=M X e (X M)^=X M.

Passo 8

Como X satisfaz todas as equações de Penrose para M, pela unicidade da pseudoinversa concluímos que (BA)+=A+B^+.

Resposta

(BA)+=A+B^+

Exercícios de Livros Relacionados