Defina o operador A: R^2 R^2 pondo A(x, y)=(x-y, x-y). Determine a matriz de A^+: R^2 R^2 na base canônica. Ache o vetor v in R^2 de menor norma tal que A v está o mais próximo possível de w=(3,5).

Passo 1

O enunciado define o operador A: R^2to R^2 por A(x,y)=(x-y,,x-y). Precisamos encontrar a matriz de A^+ (pseudoinversa de Moore–Penrose) na base canônica e, em seguida, o vetor v de menor norma que aproxima w=(3,5) na imagem de A.

Passo 2

Na base canônica, todo vetor (x,y) é representado por coordenadas (x,y)^T, e temos
A= 1 & -1 1 & -1

Passo 3

A matriz A é de posto 1 e pode ser escrita como A=u,v^T com
u=11, v=1-1

Passo 4

Para uma matriz de posto 1 vale
A^+=1|u|^2,|v|^2;v,u^T

Passo 5

Aqui |u|^2=2 e |v|^2=2, logo
A^+=14 1 & 1 -1 & -1

Passo 6

Agora que temos A^+, o vetor de menor norma que minimiza |A v - w| é dado por
v=A^+w

Passo 7

Aplicando em w=(3,5)^T:
v=14 1 & 1 -1 & -1 35 = 14 3+5-3-5 = 2-2

Resposta

A matriz de A^+ na base canônica é 141&1-1&-1 e o vetor de menor norma que aproxima w=(3,5) é v=(2,-2).

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