Defina o operador pondo . Determine a matriz de na base canônica. Ache o vetor de menor norma tal que está o mais próximo possível de .
Passo 1
O enunciado define o operador por . Precisamos encontrar a matriz de (pseudoinversa de Moore–Penrose) na base canônica e, em seguida, o vetor de menor norma que aproxima na imagem de .
Passo 2
Na base canônica, todo vetor é representado por coordenadas , e temos
Passo 3
A matriz A é de posto 1 e pode ser escrita como A=u,v^T com
u=11, v=1-1
Passo 4
Para uma matriz de posto 1 vale
A^+=1|u|^2,|v|^2;v,u^T
Passo 5
Aqui |u|^2=2 e |v|^2=2, logo
A^+=14 1 & 1 -1 & -1
Passo 6
Agora que temos A^+, o vetor de menor norma que minimiza |A v - w| é dado por
v=A^+w
Passo 7
Aplicando em w=(3,5)^T:
v=14 1 & 1 -1 & -1 35 = 14 3+5-3-5 = 2-2
Resposta
A matriz de A^+ na base canônica é 141&1-1&-1 e o vetor de menor norma que aproxima w=(3,5) é v=(2,-2).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 16.Exercícios - Ex. 16.15