Seja \mathbf{u}_{0} um vetor fixo em R^{n}. Seja L: R^{n} \rightarrow R^{\prime} definida por L(\mathbf{u})= \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}_{0}. Mostre que L é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá um vetor fixo \mathbf{u}_{0}\in\mathbb{R}^{n} e define
L\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R},\quad L(\mathbf{u}) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}_{0}.
Queremos mostrar que L é linear, ou seja, que satisfaz as duas propriedades de aditividade e homogeneidade. Para isso, usaremos as propriedades do produto escalar em \mathbb{R}^{n}.

Passo 2

(Propriedade da soma) Tome \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n}. Então
L(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{u}_{0}
pelo caráter distributivo do produto escalar, temos
(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{u}_{0} = \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}_{0} + \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_{0}.
Logo,
L(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = L(\mathbf{u}) + L(\mathbf{v}).

Passo 3

(Propriedade do escalar) Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in\mathbb{R}^{n}. Então
L(\alpha\,\mathbf{u}) = (\alpha\,\mathbf{u})\cdot \mathbf{u}_{0}.
Pelo fato de o produto escalar ser homogêneo em cada fator,
(\alpha\,\mathbf{u})\cdot \mathbf{u}_{0} = \alpha\,(\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}_{0})
e assim
L(\alpha\,\mathbf{u}) = \alpha\,L(\mathbf{u}).

Resposta

L é transformação linear, pois verifica
L(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = L(\mathbf{u}) + L(\mathbf{v}), \quad L(\alpha\,\mathbf{u}) = \alpha\,L(\mathbf{u}).

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