Seja
um vetor fixo em
. Seja
definida por
. Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá um vetor fixo
e define
Queremos mostrar que
é linear, ou seja, que satisfaz as duas propriedades de aditividade e homogeneidade. Para isso, usaremos as propriedades do produto escalar em
.
Passo 2
(Propriedade da soma) Tome
. Então
pelo caráter distributivo do produto escalar, temos
Logo,
Passo 3
(Propriedade do escalar) Seja
e
. Então
Pelo fato de o produto escalar ser homogêneo em cada fator,
e assim