Sejam \mathbf{u}=(1,-1,2,3) e \mathbf{v}=(2,3,1,-2). Calcule
(a) \|\mathbf{u}\|
(b) \|\mathbf{v}\|
(c) \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|
(d) \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}
(e) Cosseno do ângulo entre \mathbf{u} \mathbf{e} \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \mathbf{u}=(1,-1,2,3) e \mathbf{v}=(2,3,1,-2) e pede:
(a) \|\mathbf{u}\|, (b) \|\mathbf{v}\|, (c) \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|, (d) \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, (e) cosseno do ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
O conteúdo envolve norma de vetores, produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

A norma de um vetor \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) é
\|\mathbf{x}\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.
Para \mathbf{u} temos
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{15}.
Para \mathbf{v} temos
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.

Passo 3

O vetor diferença é
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(1-2,\,-1-3,\,2-1,\,3-(-2))=(-1,-4,1,5),
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\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\| =\sqrt{(-1)^2+(-4)^2+1^2+5^2} =\sqrt{43}.
O produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =1\cdot2+(-1)\cdot3+2\cdot1+3\cdot(-2) =2-3+2-6=-5.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é dado por
\cos(\theta) =\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|} =\frac{-5}{\sqrt{15}\,(3\sqrt{2})} =\frac{-5}{3\sqrt{30}} =-\frac{\sqrt{30}}{18}.

Resposta

(a) \sqrt{15}
(b) 3\sqrt{2}
(c) \sqrt{43}
(d) -5
(e) -\tfrac{\sqrt{30}}{18}

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