Seja A uma matriz com coeficientes inteiros, inversível e com inversa a coeficientes inteiros. Mostre que det(A)= pm 1.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível de ordem n cujos coeficientes são inteiros e que sua inversa A^-1 também tem coeficientes inteiros. O conteúdo aqui é a teoria do determinante em Mn(Z), usando que o determinante é um morfismo multiplicativo e que preserva a integralidade dos coeficientes.

Passo 2

Como as entradas de A são inteiras, o determinante de A é dado por soma de produtos de entradas de A, portanto
det(A)in Z
Analogamente, como A^-1 também tem entradas inteiras,
detl(A^-1r)in Z

Passo 3

Pela propriedade multiplicativa do determinante, temos
det(A),detl(A^-1r) =detl(A,A^-1r) =det(In) =1
Logo det(A) e det(A^-1) são inteiros cujo produto é 1.

Passo 4

Os únicos inteiros que multiplicados dão 1 são 1 e -1. Portanto
det(A)=pm1

Resposta

det(A)=pm1.

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