Seja
uma matriz com coeficientes inteiros, inversível e com inversa a coeficientes inteiros. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz invertível de ordem
cujos coeficientes são inteiros e que sua inversa
também tem coeficientes inteiros. O conteúdo aqui é a teoria do determinante em
, usando que o determinante é um morfismo multiplicativo e que preserva a integralidade dos coeficientes.
Passo 2
Como as entradas de
são inteiras, o determinante de
é dado por soma de produtos de entradas de
, portanto
Analogamente, como
também tem entradas inteiras,
Passo 3
Pela propriedade multiplicativa do determinante, temos
Logo
e
são inteiros cujo produto é
.
Passo 4
Os únicos inteiros que multiplicados dão
são
e
. Portanto