O simplexo unitário é o conjunto dos pontos x in R^n tais que 0< xj<1 e sumj xj<1. Mostre que existe uma bijeção linear f levando a região 0<x1<cdots<xn<1 no simplexo unitário, e com det f=1 (ou seja, preserva volume). Deduza que o simplexo unitário tem volume 1 / n!.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma transformação linear bijetora
entre a região
xinR^n:0<x1<cdots<xn<1
e o simplexo unitário
yinR^n:yj>0, sumj=1^n yj<1,
com determinante igual a 1, de modo que volumes se preservam. Com isso, basta calcular o volume da primeira região para deduzir o volume do simplexo unitário.

Passo 2

Denotemos
R=xinR^n:0<x1<cdots<xn<1,
S=lyinR^n:yj>0 para j=1,dots,n, sumj=1^n yj<1r
Queremos construir uma aplicação linear fcolon Rto S bijetora e com det f=1.

Passo 3

Definimos f por diferenças consecutivas de coordenadas, isto é,
y1 = x1, yj = xj - xj-1(j=2,dots,n)
Essa aplicação é claramente linear, pois cada yj é combinação linear das coordenadas x1,dots,xn.

Passo 4

A matriz de f em relação à base canônica é bidiagonal inferior, com
bj,j=1, bj,j-1=-1 (j>=2), b1,1=1,
e zeros em todos os outros lugares. Como é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1, temos
det f = 1cdot1cdots1 = 1

Passo 5

Para ver que f é bijetora de R em S, basta inverter as definições:
x1=y1, xj = y1+y2+cdots+yj(j=2,dots,n)
Se xin R então 0<x1<cdots<xn<1 implica yj>0 e sumj yj=xn<1, ou seja, y=f(x)in S. O recíproco também vale, mostrando bijetividade.

Passo 6

Como f é linear e det f=1, ela preserva volume. Logo
Vol(S)=Vol(R)

Passo 7

A região R é exatamente uma das n! fatias congruentes em que o cubo unitário [0,1]^n se divide quando se ordena x1,dots,xn. Como Vol([0,1]^n)=1, cada fatia tem volume
Vol(R)=1n!

Resposta

O simplexo unitário tem volume
1n!

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