O simplexo unitário é o conjunto dos pontos
tais que
e
. Mostre que existe uma bijeção linear
levando a região
no simplexo unitário, e com
(ou seja, preserva volume). Deduza que o simplexo unitário tem volume
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe uma transformação linear bijetora
entre a região
entre a região
e o simplexo unitário
com determinante igual a
, de modo que volumes se preservam. Com isso, basta calcular o volume da primeira região para deduzir o volume do simplexo unitário.
Passo 2
Denotemos
Queremos construir uma aplicação linear
bijetora e com
.
Passo 3
Definimos
por diferenças consecutivas de coordenadas, isto é,
Essa aplicação é claramente linear, pois cada
é combinação linear das coordenadas
.
Passo 4
A matriz de
em relação à base canônica é bidiagonal inferior, com
e zeros em todos os outros lugares. Como é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a
, temos
Passo 5
Para ver que
é bijetora de
em
, basta inverter as definições:
Se
então
implica
e
, ou seja,
. O recíproco também vale, mostrando bijetividade.
Passo 6
Como
é linear e
, ela preserva volume. Logo
Passo 7
A região
é exatamente uma das
fatias congruentes em que o cubo unitário
se divide quando se ordena
. Como
, cada fatia tem volume
Resposta
O simplexo unitário tem volume