Sejam zeta1, ldots, zetan in R. A matriz de Vandermonde associada aos zetai é:
V(zeta1, ldots, zetan)=[ccccc 1 & 1 & ldots & 1 & zeta1 & zeta2 & ldots & zetan & zeta1^2 & zeta2^2 & ldots & zetan^2 & vdots & vdots & & vdots & vdots zeta1^n-1 & zeta2^n-1 & ldots & zetan^n-1 & ]
Mostre que o determinante da matriz de Vandermonde se anula se e somente se existem i neq j tais que zetai=zetaj.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz de Vandermonde
V(zeta1,dots,zetan) = 1 & 1 & cdots & 1 zeta1 & zeta2 & cdots & zetan zeta1^2 & zeta2^2 & cdots & zetan^2 vdots & vdots & & vdots zeta1^n-1 & zeta2^n-1 & cdots & zetan^n-1
tem determinante zero se, e somente se, existem ineq j tais que zetai=zetaj. Vamos usar as propriedades de determinante (colunas iguais dão zero), ver o determinante como polinômio em zetan e fazer indução para obter sua forma fechada.

Passo 2

Se zetai=zetaj para algum ineq j, então as colunas i e j de V coincidem. Como determinante muda de sinal trocando colunas idênticas e portanto só pode ser zero, concluímos que
zetai=zetajLongrightarrowdet V(zeta1,dots,zetan)=0

Passo 3

Defina
P(zetan)=det V(zeta1,dots,zetan)
Fixos zeta1,dots,zetan-1, percebemos que P é um polinômio em zetan de grau no máximo n-1. Além disso, se zetan=zetak para algum k<n, novamente a coluna k e a coluna n coincidem, então
P(zetak)=0para k=1,2,dots,n-1
Logo, zeta1,dots,zetan-1 são raízes de P, e podemos escrever
P(zetan)=C;prodi=1^n-1(zetan-zetai),
onde C é o coeficiente líder (do termo zetan^,n-1).

Passo 4

Para achar C, expandimos P(zetan) por cofator ao longo da última coluna. O único termo que contém zetan^,n-1 vem do elemento da linha n, coluna n, que é zetan^,n-1, multiplicado pelo cofator correspondente. Esse cofator é exatamente det V(zeta1,dots,zetan-1). Logo
C=det V(zeta1,dots,zetan-1)
Pela hipótese de indução (caso n-1), se zeta1,dots,zetan-1 forem todos distintos, então det V(zeta1,dots,zetan-1)neq0. Assim
P(zetan) = det V(zeta1,dots,zetan) = det V(zeta1,dots,zetan-1);prodi=1^n-1(zetan-zetai)

Passo 5

Repetindo esse argumento para cada zetak na posição de “último”, obtemos a fórmula clássica
det V(zeta1,dots,zetan) =prod1<= i<j<= n(zetaj-zetai)
Dessa expressão segue imediatamente que det V=0 se e somente se algum fator zetaj-zetai for zero, ou seja, se e somente se existem ineq j com zetai=zetaj.

Resposta

A matriz de Vandermonde tem
det V(zeta1,dots,zetan) =prod1<= i<j<= n(zetaj-zetai),
que se anula exatamente quando zetai=zetaj para algum ineq j.

Exercícios de Livros Relacionados