tem determinante zero se, e somente se, existem ineq j tais que zetai=zetaj. Vamos usar as propriedades de determinante (colunas iguais dão zero), ver o determinante como polinômio em zetan e fazer indução para obter sua forma fechada.
Passo 2
Se zetai=zetaj para algum ineq j, então as colunas i e j de V coincidem. Como determinante muda de sinal trocando colunas idênticas e portanto só pode ser zero, concluímos que
Fixos zeta1,dots,zetan-1, percebemos que P é um polinômio em zetan de grau no máximo n-1. Além disso, se zetan=zetak para algum k<n, novamente a coluna k e a coluna n coincidem, então
P(zetak)=0para k=1,2,dots,n-1
Logo, zeta1,dots,zetan-1 são raízes de P, e podemos escrever
P(zetan)=C;prodi=1^n-1(zetan-zetai),
onde C é o coeficiente líder (do termo zetan^,n-1).
Passo 4
Para achar C, expandimos P(zetan) por cofator ao longo da última coluna. O único termo que contém zetan^,n-1 vem do elemento da linha n, coluna n, que é zetan^,n-1, multiplicado pelo cofator correspondente. Esse cofator é exatamente det V(zeta1,dots,zetan-1). Logo
C=det V(zeta1,dots,zetan-1)
Pela hipótese de indução (caso n-1), se zeta1,dots,zetan-1 forem todos distintos, então det V(zeta1,dots,zetan-1)neq0. Assim
P(zetan) = det V(zeta1,dots,zetan) = det V(zeta1,dots,zetan-1);prodi=1^n-1(zetan-zetai)
Passo 5
Repetindo esse argumento para cada zetak na posição de “último”, obtemos a fórmula clássica
det V(zeta1,dots,zetan) =prod1<= i<j<= n(zetaj-zetai)
Dessa expressão segue imediatamente que det V=0 se e somente se algum fator zetaj-zetai for zero, ou seja, se e somente se existem ineq j com zetai=zetaj.
Resposta
A matriz de Vandermonde tem
det V(zeta1,dots,zetan) =prod1<= i<j<= n(zetaj-zetai),
que se anula exatamente quando zetai=zetaj para algum ineq j.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Gregorio Malajovich - Álgebra Linear - 4ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.10