Seja A uma matriz com coeficientes reais, de módulo menor ou igual a H. Mostre que |det A| <=(raizn H)^n.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real ntimes n cujos coeficientes satisfazem lvert aijrvert<= H. O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de Hadamard para determinantes, que envolve normas euclidianas dos vetores-linha de A.

Passo 2

Denotemos por ri o i-ésimo vetor-linha de A, isto é,
ri=(ai1,ai2,dots,ain)
A norma euclidiana de ri é
|ri| =raizsumj=1^n aij^2 <=raizsumj=1^n H^2 =raizn,H^2 =raizn,H

Passo 3

A desigualdade de Hadamard afirma que
lvertdet Arvert<=prodi=1^n|ri|
Como cada |ri|<=raizn,H, concluímos
lvertdet Arvert<=(raizn,H)^n

Resposta

lvertdet Arvert<=(raizn,H)^n

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