Defina o operador compatível com as notações deste capítulo, de maneira a ter associatividade:
Passo 1
O enunciado quer que a gente defina um produto
entre formas alternadas de grau e grau , de modo que ele seja bilinear, produza uma forma alternada e seja associativo:
Para isso vamos usar o operador “alternador” que transforma tensores em formas alternadas.
Passo 2
Recordando, se é um tensor multilinear em , o alternador é
e sempre produz uma forma alternada de grau .
Passo 3
Seja e . Definimos então
Aqui é o tensor de grau que avalia
Passo 4
Bilinearidade segue da bilinearidade de e de . O fator garante que, ao permutar blocos de e vetores, apareça o sinal correto e não algum coeficiente extra. Logo é de fato uma forma alternada de grau .
Passo 5
Para associatividade observamos que, em qualquer produto triplo,
e
Como a composição de alternadores satifaz e os fatores combinatórios se cancelam, dá-se
Resposta
Para e definimos
que é bilinear, alternado, de grau e satisfaz associatividade.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Gregorio Malajovich - Álgebra Linear - 4ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.11