Defina o operador wed>=: A^k(R^n) times A^l(R^n) A^k+l(R^n) compatível com as notações deste capítulo, de maneira a ter associatividade:
omega wed>=(eta wed>= phi)=(omega wed>= eta) wed>= phi

Passo 1

O enunciado quer que a gente defina um produto
wed>= colon A^k(R^n)times A^l(R^n)to A^k+l(R^n)
entre formas alternadas de grau k e grau l, de modo que ele seja bilinear, produza uma forma alternada e seja associativo:
omegawed>=(etawed>=phi)=(omegawed>=eta)wed>=phi
Para isso vamos usar o operador “alternador” que transforma tensores em formas alternadas.

Passo 2

Recordando, se é um tensor multilinear em , o alternador é
e sempre produz uma forma alternada de grau .

Passo 3

Seja e . Definimos então
Aqui é o tensor de grau que avalia

Passo 4

Bilinearidade segue da bilinearidade de e de . O fator garante que, ao permutar blocos de e vetores, apareça o sinal correto e não algum coeficiente extra. Logo é de fato uma forma alternada de grau .

Passo 5

Para associatividade observamos que, em qualquer produto triplo,
e
Como a composição de alternadores satifaz e os fatores combinatórios se cancelam, dá-se

Resposta

Para e definimos
que é bilinear, alternado, de grau e satisfaz associatividade.

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