Seja a um número inteiro. Mostre que
se a^2 é par, então a é par;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se a^2 é par, então a também é par. O assunto aqui é teoria dos números, mais especificamente propriedades de paridade (números pares e ímpares). Vamos usar a ideia de prova por contrapositivecida.

Passo 2

Primeiro, recordemos as definições de par e ímpar:
  • Um inteiro a é par se existir um kinZ tal que a = 2k.
  • Um inteiro a é ímpar se existir um kinZ tal que a = 2k + 1.
Em vez de provar diretamente “se a^2 é par então a é par”, vamos provar a contrapositivecida: “se a não é par (isto é, se a é ímpar) então a^2 não é par (ou seja, a^2 é ímpar)”. Essa abordagem é comum porque a contrapositivecida de uma afirmação é logicamente equivalente à afirmação original.

Passo 3

Suponha então que a seja ímpar. Logo, existe um kinZ tal que:
a = 2k + 1
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
Note que 2k^2 + 2k também é um inteiro. Portanto, a^2 tem a forma 2m + 1, com m = 2k^2 + 2k. Isso mostra que a^2 é ímpar.

Passo 4

Acabamos de provar que se a é ímpar, então a^2 é ímpar. Essa é precisamente a contrapositivecida da afirmação original. Logo, a afirmação “se a^2 é par então a é par” é verdadeira.

Resposta

a é par

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