Seja a um número inteiro. Mostre que
se
é par, então a é par;
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
é par, então
também é par. O assunto aqui é teoria dos números, mais especificamente propriedades de paridade (números pares e ímpares). Vamos usar a ideia de prova por contrapositivecida.
Passo 2
Primeiro, recordemos as definições de par e ímpar:
- Um inteiro
é par se existir um tal que . - Um inteiro
é ímpar se existir um tal que .
Em vez de provar diretamente “se
é par então
é par”, vamos provar a contrapositivecida: “se
não é par (isto é, se
é ímpar) então
não é par (ou seja,
é ímpar)”. Essa abordagem é comum porque a contrapositivecida de uma afirmação é logicamente equivalente à afirmação original.
Passo 3
Suponha então que
seja ímpar. Logo, existe um
tal que:
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Note que
também é um inteiro. Portanto,
tem a forma
, com
. Isso mostra que
é ímpar.
Passo 4
Acabamos de provar que se
é ímpar, então
é ímpar. Essa é precisamente a contrapositivecida da afirmação original. Logo, a afirmação “se
é par então
é par” é verdadeira.
Resposta
a é par